Resolva as equações usando a transformada de Laplace
l y^prime+y=f(t), em que f(t) =ll 0, & 0 <= t<1 5, & t >= 1 y(0)=0

Passo 1

A equação dada é uma EDO linear de primeira ordem: y′ + y = f(t), com condição inicial y(0)=0 e f(t) descontínua em t=1. O conteúdo aqui é transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais e ao tratamento de funções definidas por partes (função degrau).

Passo 2

Para usar a transformada de Laplace, primeiro escrevemos f(t) em termos da função degrau de Heaviside:
f(t) = 0, & t<1, 5, & t>=1 = 5,u(t-1)

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de y′ + y = f(t). Lembra que
Ly(s)=sY(s)-y(0),
Ly(s)=Y(s),
e a condição inicial é y(0)=0.

Passo 4

A transformada de Laplace de f(t)=5u(t-1) usa o teorema do deslocamento:
Lu(t-1)(s)=e^-ss,
portanto
L5u(t-1)(s)=5e^-ss

Passo 5

Substituindo na EDO transformada:
sY(s)-0 + Y(s) = 5e^-ss
Logo
Y(s)(s+1)=5e^-ss
e
Y(s)=5e^-ss(s+1)

Passo 6

Para obter y(t), usamos o teorema do deslocamento na inversa: se
G(s)=5s(s+1),
então
y(t)=L^-1e^-sG(s)=u(t-1),g(t-1),
onde
g(t)=L^-1G(s)=L^-15l(tfrac1s-tfrac1s+1r)=5l(1-e^-tr)
Assim
y(t)=5,u(t-1)l(1-e^-(t-1)r)

Resposta

y(t)= 0,&0<= t<1,5l(1-e^-(t-1)r),&t>=1

Exercícios relacionados