Resolva as equações usando a transformada de Laplace
Passo 1
A equação dada é uma EDO linear de primeira ordem: y′ + y = f(t), com condição inicial y(0)=0 e f(t) descontínua em t=1. O conteúdo aqui é transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais e ao tratamento de funções definidas por partes (função degrau).
Passo 2
Para usar a transformada de Laplace, primeiro escrevemos f(t) em termos da função degrau de Heaviside:
Passo 3
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de y′ + y = f(t). Lembra que
e a condição inicial é y(0)=0.
Passo 4
A transformada de Laplace de f(t)=5u(t-1) usa o teorema do deslocamento:
portanto
Passo 5
Substituindo na EDO transformada:
Logo
e
Passo 6
Para obter y(t), usamos o teorema do deslocamento na inversa: se
então
onde
Assim
Resposta
y(t)=