Determine o domínio das seguintes funções: f(x)=raiz|2 x+3|+x-1+raiz[3]x dom(f)=(-infty,-4] cup[-2 / 3,+infty).

Passo 1

Temos a função f(x)=raiz|2x+3|+x-1+raiz[3]x. O conteúdo da matéria é análise de domínio de funções, e vamos precisar garantir que o radicando da raiz quadrada seja não negativo e lembrar que a raiz cúbica está definida em todo xinR.

Passo 2

Primeiro, note que para raiz|2x+3|+x-1 precisamos ter |2x+3|+x-1>=0, enquanto raiz[3]x não impõe restrição em x. Logo, o domínio de f é o conjunto de x reais que satisfazem |2x+3|+x-1>=0.

Passo 3

Vamos resolver |2x+3|+x-1>=0 por casos. Se 2x+3>=0 (ou seja, x>=-3/2), então |2x+3|=2x+3. A condição vira
2x+3 + x -1>=0,
o que simplifica para
3x+2>=0
e, portanto,
x>=-tfrac23Como estamos neste ramo com x>=-3/2, combinamos as duas e obtemos x>=-2/3.

Passo 4

Se 2x+3<0 (isto é, x< -3/2), então |2x+3|=-(2x+3)=-2x-3. A desigualdade fica
-2x-3 + x -1>=0,
que dá
-x-4>=0
e
x<=-4Como também precisamos de x< -3/2, o intervalo resultante é x<=-4 (pois -4<-3/2).

Passo 5

Unindo os resultados dos dois casos, o conjunto solução de |2x+3|+x-1>=0 é f. Como não há mais restrições, este é o domínio de .

Resposta

(-\infty,-4]\cup[-2/3,\infty)

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