Faça um esboço do gráfico e determine o domínio e a imagem de cada função dada:
Passo 1
A função é definida por partes: para x< -2 temos f(x)=2x+3, para -2<= x<2 temos f(x)=raiz4-x^2 e para x>=2 temos f(x)=-x^2+6x-10. Vamos esboçar o gráfico e achar domínio e imagem.
Passo 2
O domínio é a união das faixas de definição de cada ramo. O ramo linear vale para x< -2, o da raiz para -2<= x<2 (a condição 4-x^2>=0 já está implícita nesse intervalo) e o da parábola para x>=2. Portanto o domínio é (-infty,infty).
Passo 3
No ramo linear f(x)=2x+3 com x< -2, conforme xto-infty temos f(x)to-infty e ao nos aproximarmos de x=-2 pela esquerda o valor tende a 2(-2)+3=-1, mas sem alcançá-lo. Logo o conjunto de valores desse ramo é (-infty,-1).
Passo 4
No ramo da raiz f(x)=raiz4-x^2 para -2<= x<2 temos o gráfico de um semicírculo de raio 2 acima do eixo x. Os valores vão de 0 (em x=pm2, sendo x=2 não incluído e x=-2 incluído) até 2 (em x=0). Assim o alcance desse ramo é [0,2].
Passo 5
No ramo da parábola f(x)=-x^2+6x-10=-(x-3)^2-1 para x>=2, temos um vértice em x=3 com valor máximo -1 e decrescimento até -infty quando xtoinfty. Em x=2 a parábola vale -2. Portanto o conjunto de valores é ( -infty,-1].
Passo 6
Reunindo os alcances de cada ramo, a imagem da função é a união (-infty,-1]cup[0,2]. Para esboçar o gráfico, desenhe a reta até o ponto (-2,-1) com círculo aberto, marque o ponto (-2,0) preenchido, trace o semicírculo de raio 2 de -2 a 2 com a extremidade em (2,0) aberta, e desenhe a parábola a partir de (2,-2) até o vértice em (3,-1), decaindo depois para baixo.