Faça um esboço do gráfico e determine o domínio e a imagem de cada função dada:
Passo 1
Estamos com a função definida por partes
f(x)= 3x+1,&x<-1, -raiz1-x^2,&-1<= x<=1, x^2-3x+3,&x>1,
que envolve reta, semicírculo e parábola. O objetivo é esboçar o gráfico e achar domínio e imagem. Vamos usar conceitos de domínio de funções por partes, esboço de reta, círculo e parábola, e completar quadrado.
Passo 2
O domínio de f é a união dos intervalos em que cada parte está definida, isto é -infty,-1)cup[-1,1]cup(1,infty) que corresponde a todos os reais, ou seja R.
Passo 3
Para x<-1, o trecho é f(x)=3x+1, uma reta de coeficiente angular 3. Quando xto-infty, f(x)to-infty. No ponto x=-1 (não incluído) temos f(-1)=3(-1)+1=-2, aberto. Esboçamos uma reta passando por (-1,-2) com ponto aberto e inclinada para cima. A imagem desse trecho é (-infty,-2).
Passo 4
Para -1<= x<=1, o trecho é f(x)=-raiz1-x^2, que representa a metade inferior de um círculo de raio 1 centrado em (0,0). Nos extremos x=pm1 temos f(pm1)=0 e em x=0 temos f(0)=-1. Desenhamos um semicírculo invertido de pontas em (-1,0) e (1,0). A imagem desse trecho é [-1,0].
Passo 5
Para x>1, o trecho é f(x)=x^2-3x+3. Completando o quadrado obtemos
x^2-3x+3=(x-tfrac32)^2+tfrac34
Isto mostra vértice em (tfrac32,tfrac34) e parábola voltada para cima. Em xto1^+ ela tende a 1 (não incluído), em xtoinfty vai a infty. A imagem local é [tfrac34,infty).
Passo 6
Unindo as imagens de cada trecho, a imagem global de f fica (-infty,-2)cup[-1,0]cup[tfrac34,infty).
Resposta
Domínio: R. Imagem: (-infty,-2)cup[-1,0]cup[tfrac34,infty).