Faça um esboço do gráfico e determine o domínio e a imagem de cada função dada:
f(x)=cll3 x+1, & se & x<-1 -raiz1-x^2, & se & -1 <= x <= 1 x^2-3 x+3, & se & x>1

Passo 1

Estamos com a função definida por partes
f(x)=
3x+1,&x<-1, -raiz1-x^2,&-1<= x<=1, x^2-3x+3,&x>1,
que envolve reta, semicírculo e parábola. O objetivo é esboçar o gráfico e achar domínio e imagem. Vamos usar conceitos de domínio de funções por partes, esboço de reta, círculo e parábola, e completar quadrado.

Passo 2

O domínio de f é a união dos intervalos em que cada parte está definida, isto é
-infty,-1)cup[-1,1]cup(1,infty) que corresponde a todos os reais, ou seja R.

Passo 3

Para x<-1, o trecho é f(x)=3x+1, uma reta de coeficiente angular 3. Quando xto-infty, f(x)to-infty. No ponto x=-1 (não incluído) temos f(-1)=3(-1)+1=-2, aberto. Esboçamos uma reta passando por (-1,-2) com ponto aberto e inclinada para cima. A imagem desse trecho é (-infty,-2).

Passo 4

Para -1<= x<=1, o trecho é f(x)=-raiz1-x^2, que representa a metade inferior de um círculo de raio 1 centrado em (0,0). Nos extremos x=pm1 temos f(pm1)=0 e em x=0 temos f(0)=-1. Desenhamos um semicírculo invertido de pontas em (-1,0) e (1,0). A imagem desse trecho é [-1,0].

Passo 5

Para x>1, o trecho é f(x)=x^2-3x+3. Completando o quadrado obtemos
x^2-3x+3=(x-tfrac32)^2+tfrac34
Isto mostra vértice em (tfrac32,tfrac34) e parábola voltada para cima. Em xto1^+ ela tende a 1 (não incluído), em xtoinfty vai a infty. A imagem local é [tfrac34,infty).

Passo 6

Unindo as imagens de cada trecho, a imagem global de f fica
(-infty,-2)cup[-1,0]cup[tfrac34,infty).

Resposta

Domínio: R. Imagem: (-infty,-2) cup[-1,0]cup[tfrac34,infty).

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