Determine o domínio das seguintes funções reais: f(x)=\frac{3 x}{x-4}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função real f dada por
f(x)=\frac{3x}{x-4}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma razão (quociente) entre dois polinômios.
  • Numerador: 3x.
  • Denominador: x-4.
    A pergunta explícita é: para quais valores reais de x a expressão acima está bem definida?

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “domínio” de uma função real de variável real: o domínio é o conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão que define a função tem sentido e resulta em um número real. Em particular, uma operação proibida é a divisão por zero: não podemos ter o denominador igual a zero.
Regra útil e simples (que sempre uso como checklist):
  • Se a função tem a forma \displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}, com P e Q polinômios, então o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid Q(x)\ne0\}.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso: identificar o denominador e exigir que ele seja diferente de zero. Aqui o denominador é x-4. Portanto impomos
x-4 \ne 0.
Resolver essa inequação é trivial: somar 4 aos dois lados dá
x \ne 4.

Passo 4

Verificar se há outras restrições: o numerador é 3x, que é um polinômio definido para todo x\in\mathbb{R}, logo não impõe nenhuma restrição adicional ao domínio.

Passo 5

Conclusão lógica: a única proibição vem do denominador. Assim o domínio de f é o conjunto de todos os reais exceto 4. Em notação de conjunto:
\{x\in\mathbb{R}\mid x\ne4\}.
Em notação de intervalos:
(-\infty,4)\cup(4,\infty).
Comentário didático rápido (útil para a prova): isso também significa que a função tem uma assíntota vertical em x=4. Para ver por que, note que ao aproximarmos x de 4 pela direita, x-4>0 fica muito pequeno e 3x fica próximo de 12, então \displaystyle f(x)\to +\infty; aproximando por a esquerda, x-4<0 fica muito pequeno e \displaystyle f(x)\to -\infty. Esse comportamento confirma que x=4 não pertence ao domínio.

Resposta

(-\infty,4)\cup(4,\infty)

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