Determine o domínio das seguintes funções reais:
Passo 1
O enunciado dá a função real
e pede: determinar o domínio de , isto é, o conjunto de todos os números reais
para os quais a expressão está bem definida.
e pede: determinar o domínio de
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Há uma fração
; isso exige que o denominador não seja zero. - Há outra fração
; aqui aparece uma raiz quadrada no denominador, o que impõe duas condições (a raiz precisa ser definida e o denominador não pode ser zero).
Passo 2
Analisar a primeira restrição (denominador da primeira fração): o denominador é
. Para evitar divisão por zero precisamos de
.
Resolva a equação
. Fatore:
As raízes são
e
. Portanto a primeira restrição é
e
.
Passo 3
Analisar a segunda restrição (a raiz no denominador): temos
.
Para que
esteja definida em números reais é necessário que o radicando satisfaça
, isto é
.
Porém, como essa raiz aparece no denominador, não pode valer zero (pois dividir por zero é proibido). Logo precisamos de
, o que implica
, isto é
.
Observação útil: se a raiz estivesse no numerador a condição seria
, mas por estar no denominador a condição é estrita
.
Passo 4
Agora combinamos as restrições das duas partes: devemos ter simultaneamente
Como a condição
já exclui automaticamente
, a única exclusão adicional que resta é
.
Portanto o conjunto de
admissíveis é
Passo 5
Escrever em notação intervalar e explicar os pontos críticos:
- A condição
corresponde ao intervalo . - Retirando
de obtém-se a união de intervalos .
Verificação rápida dos pontos limítrofes:
-
não vale porque e daria divisão por zero. -
não vale porque e daria divisão por zero na primeira fração. - Valores maiores que
e entre e são permitidos.