Determine o domínio das seguintes funções reais: f(x)=\frac{3 x}{x^{2}-4}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}

Passo 1

O enunciado dá a função real
f(x)=\frac{3 x}{x^{2}-4}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}
e pede: determinar o domínio de f, isto é, o conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão está bem definida.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Há uma fração \dfrac{3x}{x^{2}-4}; isso exige que o denominador não seja zero.
  • Há outra fração \dfrac{1}{\sqrt{x-1}}; aqui aparece uma raiz quadrada no denominador, o que impõe duas condições (a raiz precisa ser definida e o denominador não pode ser zero).

Passo 2

Analisar a primeira restrição (denominador da primeira fração): o denominador é x^{2}-4. Para evitar divisão por zero precisamos de
x^{2}-4\neq0.
Resolva a equação x^{2}-4=0. Fatore:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
As raízes são x=2 e x=-2. Portanto a primeira restrição é
x\neq 2 e x\neq -2.

Passo 3

Analisar a segunda restrição (a raiz no denominador): temos \dfrac{1}{\sqrt{x-1}}.
Para que \sqrt{x-1} esteja definida em números reais é necessário que o radicando satisfaça
x-1\ge 0, isto é x\ge 1.
Porém, como essa raiz aparece no denominador, não pode valer zero (pois dividir por zero é proibido). Logo precisamos de
\sqrt{x-1}\neq 0, o que implica x-1>0, isto é
x>1.
Observação útil: se a raiz estivesse no numerador a condição seria x-1\ge 0, mas por estar no denominador a condição é estrita x-1>0.

Passo 4

Agora combinamos as restrições das duas partes: devemos ter simultaneamente
x>1 \qquad\text{e}\qquad x\neq 2,\\ x\neq -2.
Como a condição x>1 já exclui automaticamente x=-2, a única exclusão adicional que resta é x\neq 2.
Portanto o conjunto de x admissíveis é
\{x\in\mathbb{R}\mid x>1\}\setminus\{2\}.

Passo 5

Escrever em notação intervalar e explicar os pontos críticos:
  • A condição x>1 corresponde ao intervalo (1,\infty).
  • Retirando x=2 de (1,\infty) obtém-se a união de intervalos (1,2)\cup(2,\infty).
Verificação rápida dos pontos limítrofes:
  • x=1 não vale porque \sqrt{1-1}=0 e daria divisão por zero.
  • x=2 não vale porque x^{2}-4=0 e daria divisão por zero na primeira fração.
  • Valores maiores que 2 e entre 1 e 2 são permitidos.

Resposta

(1,2)\cup(2,\infty)

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