Calcule o volume do solido delimitado pelo cilindro
e pelo plano
acima do plano
, usando coordenadas cilindricas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está delimitado por um cilindro com a equação
e pelo plano
(que na verdade é
), ficando acima do plano
. A gente vai usar coordenadas cilíndricas para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessa coordenada, a gente expressa os pontos usando
(distância do ponto até o eixo
),
(ângulo em relação ao eixo
) e
(a altura). A vantagem de usar coordenadas cilíndricas aqui é que o cilindro
fica mais simples:
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, para calcular o volume, vamos configurar uma integral tripla em coordenadas cilíndricas. O volume
pode ser calculado pela seguinte integral:
Aqui,
é o fator que aparece no elemento de volume em coordenadas cilíndricas (
).
Passo 4
Vamos resolver a integral começando pela parte mais interna, que é em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos esse resultado na integral e resolvemos em relação a
:
Passo 6
Por último, resolvemos a integral em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.