Calcule o volume do solido delimitado pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelo plano z=5-1 acima do plano =0, usando coordenadas cilindricas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está delimitado por um cilindro com a equação e pelo plano (que na verdade é ), ficando acima do plano . A gente vai usar coordenadas cilíndricas para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nessa coordenada, a gente expressa os pontos usando (distância do ponto até o eixo ), (ângulo em relação ao eixo ) e (a altura). A vantagem de usar coordenadas cilíndricas aqui é que o cilindro fica mais simples: , ou seja, .

Passo 3

Agora, para calcular o volume, vamos configurar uma integral tripla em coordenadas cilíndricas. O volume V = integraltheta=0^2pi integralr=0^2 integralz=0^4 r , dz , dr , dtheta pode ser calculado pela seguinte integral:
Aqui, é o fator que aparece no elemento de volume em coordenadas cilíndricas ( ).

Passo 4

Vamos resolver a integral começando pela parte mais interna, que é em relação a integralz=0^4 r , dz = r cdot (4 - 0) = 4r :

Passo 5

Agora, substituímos esse resultado na integral e resolvemos em relação a integralr=0^2 4r , dr = 4 integral0^2 r , dr = 4 [ r^22 ]0^2 = 4 ( 42 - 0 ) = 4 cdot 2 = 8 :

Passo 6

Por último, resolvemos a integral em relação a integraltheta=0^2pi 8 , dtheta = 8 cdot (2pi - 0) = 16pi :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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