Determine o domínio das seguintes funções:
z=\operatorname{arctg}\left(x{2}+y{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z = \operatorname{arctg}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
e pede o domínio de definição. Para isso, precisamos saber o domínio da função \operatorname{arctg}(u) e verificar as restrições impostas pelo argumento u = x^{2}+y^{2}.

Passo 2

O domínio da função \operatorname{arctg}(u) é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
\operatorname{dom}\bigl(\operatorname{arctg}\bigr)=\mathbb{R}.
O argumento u = x^{2}+y^{2} assume valores em
[0,\infty)\subset\mathbb{R},
pois para quaisquer x,y\in\mathbb{R} temos x^{2}\ge0 e y^{2}\ge0. Logo, u sempre pertence ao domínio de \operatorname{arctg}, sem impor restrições adicionais sobre x e y.

Resposta

O domínio é
\mathbb{R}^{2}.

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