Use the Intermediate Value Theorem to show that there is a root of the given equation in the specified interval.
\ln x-e^{-x}, \quad(1,2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
\ln x - e^{-x} = 0
tem pelo menos uma solução em (1,2). Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que garante existência de raiz sempre que uma função contínua muda de sinal em dois pontos do intervalo.

Passo 2

Definimos
f(x) = \ln x - e^{-x}.
Sabemos que x\mapsto \ln x e x\mapsto e^{-x} são contínuas em (0,\infty). Portanto f é contínua em [1,2].

Passo 3

Calculamos os valores nos extremos:
f(1) = \ln 1 - e^{-1} = 0 - \frac{1}{e} = -\frac{1}{e} < 0,
f(2) = \ln 2 - e^{-2} \approx 0{,}6931 - 0{,}1353 = 0{,}5578 > 0.
Como f(1)<0 e f(2)>0, houve mudança de sinal.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe c\in(1,2) tal que
f\text{(c)} = 0.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz de \ln x - e^{-x}=0 em (1,2).

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