Encontre o raio e o intervalo de
sumn=0^infty x^nn!

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma série infinita da forma sumn=0^infty x^nn!. A gente vai trabalhar com Séries de Potências, que é um tópico de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o raio de convergência e depois determinar o intervalo de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência da série. Para isso, a gente vai usar o Teste da Razão, que é uma técnica super útil para determinar onde a série converge.

Passo 3

O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite L quando n tende ao infinito da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série, ou seja,
L = limn to infty | an+1an |
Se esse limite existir e for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, a série diverge. E se for igual a 1, o teste não funciona e precisamos tentar outro método.

Passo 4

Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, o termo geral da série é an = x^nn!. Então,
an+1an = x^n+1(n+1)!x^nn! = x^n+1 cdot n!x^n cdot (n+1)! = xn+1

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite desse valor quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | xn+1 | = limn to infty |x|n+1 = 0

Passo 6

Como L = 0 e 0 < 1, pelo Teste da Razão, a série converge para todo valor de x. Isso significa que o raio de convergência é infinito.

Passo 7

Agora que sabemos que o raio de convergência é infinito, o intervalo de convergência também é todo o conjunto dos números reais, ou seja, (-infty, infty).

Resposta

O raio de convergência da série é infinito, e o intervalo de convergência é (-infty, infty).

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