Beleza, então o que a gente tem aqui é uma série infinita da forma . A gente vai trabalhar com Séries de Potências, que é um tópico de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o raio de convergência e depois determinar o intervalo de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência da série. Para isso, a gente vai usar o Teste da Razão, que é uma técnica super útil para determinar onde a série converge.
Passo 3
O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite quando tende ao infinito da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série, ou seja,
Se esse limite existir e for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, a série diverge. E se for igual a 1, o teste não funciona e precisamos tentar outro método.
Passo 4
Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, o termo geral da série é an = x^nn!. Então,
Agora, vamos calcular o limite desse valor quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | xn+1 | = limn to infty |x|n+1 = 0
Passo 6
Como L = 0 e 0 < 1, pelo Teste da Razão, a série converge para todo valor de x. Isso significa que o raio de convergência é infinito.
Passo 7
Agora que sabemos que o raio de convergência é infinito, o intervalo de convergência também é todo o conjunto dos números reais, ou seja, (-infty, infty).
Resposta
O raio de convergência da série é infinito, e o intervalo de convergência é (-infty, infty).