Dadas as funções f: \mathbb{R}^{*} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=\frac{3-x}{x} e g: \mathbb{R}^{*} \rightarrow \mathbb{R}, definida por g(x)=\frac{x^{2}-1}{3 x}, calcule:
f(1)+g(2)

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede que eu calcule a soma dos valores delas em pontos específicos. Dados fornecidos:
  • A função f:\mathbb{R}^{*}\rightarrow\mathbb{R} é f(x)=\frac{3-x}{x}.
  • A função g:\mathbb{R}^{*}\rightarrow\mathbb{R} é g(x)=\frac{x^{2}-1}{3x}.
  • A notação \mathbb{R}^{*} significa os reais não nulos (ou seja, todos os x\in\mathbb{R} com x\neq0).
O que se pede: calcular f(1)+g(2).

Passo 2

Como avaliar uma função num ponto: para calcular f(a) basta substituir x por a na expressão de f(x), desde que a pertença ao domínio (a substituição não cause divisão por zero, por exemplo). Vou primeiro verificar se os pontos 1 e 2 estão no domínio: ambos são diferentes de zero, então estão em \mathbb{R}^{*} e posso avaliar as funções nesses pontos.

Passo 3

Calcular f(1) substituindo x=1 em f(x)=\dfrac{3-x}{x}:
f(1)=\frac{3-1}{1}.
Agora faço as contas no numerador e no denominador:
3-1=2,\qquad 1=1,
portanto
f(1)=\frac{2}{1}.
Simplificando a fração \dfrac{2}{1} obtém-se o inteiro correspondente:
f(1)=2.

Passo 4

Calcular g(2) substituindo x=2 em g(x)=\dfrac{x^{2}-1}{3x}:
g(2)=\frac{2^{2}-1}{3\cdot 2}.
Faço as operações: 2^{2}=4, então no numerador 4-1=3. No denominador 3\cdot2=6. Assim
g(2)=\frac{3}{6}.
Agora simplifico a fração dividindo numerador e denominador por 3:
g(2)=\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora somo os dois resultados. Tenho f(1)=2 e g(2)=\dfrac{1}{2}. Escrevo a soma e coloco em frações com o mesmo denominador para somar:
2+\frac{1}{2}=\frac{4}{2}+\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{5}{2}

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