Para que valores de x \in D(f) a função real f(x)=x^{2}+x+3 produz imagens iguais a 5 ?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os valores de x\in D(f) tais que a função f produz a imagem igual a 5.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{2}+x+3.
  • O conjunto domínio D(f) não foi explicitado, mas como f é um polinômio, vale que D(f)=\mathbb{R} (todos os números reais).
  • Pergunta: quais x\in\mathbb{R} satisfazem f(x)=5?

Passo 2

Traduzir a pergunta para uma equação: queremos os x tais que
f(x)=5.
Substituindo a expressão de f, obtemos a equação
x^{2}+x+3=5.
Agora vamos reduzir essa equação para a forma padrão de uma quadrática.

Passo 3

Subtrair 5 de ambos os lados para obter uma equação do tipo quadrático ax^{2}+bx+c=0:
x^{2}+x+3-5=0
x^{2}+x-2=0.
Aqui a=1, b=1 e c=-2. Uma equação quadrática pode ser resolvida por fatoração quando possível, ou pela fórmula quadrática. Vou explicar rapidamente a fórmula e o que é o discriminante.
A fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara) dá as raízes de \,ax^{2}+bx+c=0 por
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde o discriminante é \Delta=b^{2}-4ac. O discriminante indica quantas raízes reais existem:
  • Se \Delta>0: duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta=0: uma raiz real dupla.
  • Se \Delta<0: nenhuma raiz real (raízes complexas).

Passo 4

Calcular o discriminante para a nossa equação com a=1, b=1, c=-2:
\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9.
Como \Delta=9>0, haverá duas raízes reais distintas. Aplicando a fórmula:
x=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm3}{2}.
Isso fornece duas soluções:
x=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1
e
x=\frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2.

Passo 5

Como alternativa rápida (útil na prova), a quadrática x^{2}+x-2 é fatorável porque procuramos dois números cujo produto é ac= -2 e cuja soma é b=1. Esses números são 2 e -1, então
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
Igualando a zero:
(x+2)(x-1)=0
x=-2 ou x=1, exatamente as soluções encontradas pela fórmula.

Passo 6

Verificação final (sempre bom fazer na prova): calcular f(1) e f(-2).
f(1)=1^{2}+1+3=1+1+3=5,
f(-2)=(-2)^{2}+(-2)+3=4-2+3=5.
Ambos produzem a imagem 5 e pertencem ao domínio \mathbb{R}, logo são válidos.

Resposta

-2
1

Exercícios relacionados