Para que valores de
a função real
produz imagens iguais a 5 ?
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os valores de
tais que a função
produz a imagem igual a
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - O conjunto domínio
não foi explicitado, mas como é um polinômio, vale que (todos os números reais). - Pergunta: quais
satisfazem ?
Passo 2
Traduzir a pergunta para uma equação: queremos os
tais que
Substituindo a expressão de
, obtemos a equação
Agora vamos reduzir essa equação para a forma padrão de uma quadrática.
Passo 3
Subtrair
de ambos os lados para obter uma equação do tipo quadrático
:
Aqui
,
e
. Uma equação quadrática pode ser resolvida por fatoração quando possível, ou pela fórmula quadrática. Vou explicar rapidamente a fórmula e o que é o discriminante.
A fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara) dá as raízes de
por
onde o discriminante é
. O discriminante indica quantas raízes reais existem:
- Se
: duas raízes reais distintas. - Se
: uma raiz real dupla. - Se
: nenhuma raiz real (raízes complexas).
Passo 4
Calcular o discriminante para a nossa equação com
,
,
:
Como
, haverá duas raízes reais distintas. Aplicando a fórmula:
Isso fornece duas soluções:
e
Passo 5
Como alternativa rápida (útil na prova), a quadrática
é fatorável porque procuramos dois números cujo produto é
e cuja soma é
. Esses números são
e
, então
Igualando a zero:
dá
ou
, exatamente as soluções encontradas pela fórmula.
Passo 6
Verificação final (sempre bom fazer na prova): calcular
e
.
Ambos produzem a imagem
e pertencem ao domínio
, logo são válidos.