Determine o domíno, a imagem e esboce curvas de nível da função. Utilize as curvas de nível para esboçar o gráfico da função.
f(x, y)=raiz4-4 x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio, a imagem, fazer o esboço das curvas de nível e, a partir delas, esboçar o gráfico da função f(x,y)=raiz4-4x^2-y^2. O conteúdo envolve desigualdades para domínio, análise de máximo e mínimo para imagem e curvas de nível de funções de duas variáveis.

Passo 2

Para achar o domínio, devemos garantir que o radicando seja não-negativo:
4-4x^2-y^2>=0
Isso equivale a
4x^2+y^2<=4,
que é a região interior de uma elipse.

Passo 3

A imagem vem dos valores que f assume no domínio. Como é uma raiz, f>=0. O valor máximo surge em (0,0), onde
f(0,0)=raiz4=2,
e o valor mínimo em qualquer ponto da fronteira da elipse, onde
f=0
Logo,
Im,f=[0,2]

Passo 4

As curvas de nível de nível c são dadas por
raiz4-4x^2-y^2=ciff4-4x^2-y^2=c^2iff4x^2+y^2=4-c^2,
para 0<= c<=2. Cada curva é uma elipse
4x^2+y^2=4-c^2,
com eixos x de semi-raio raiz1-tfracc^24 e y de semi-raio raiz4-c^2.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, note que
z=f(x,y)=raiz4-4x^2-y^2
é exatamente a metade superior do elipsoide
4x^2+y^2+z^2=4
As curvas de nível vão subindo de z=0 (na elipse de equação 4x^2+y^2=4) até o ponto (0,0,2).

Resposta

Domínio: D={(x,y)\mid4x2+y2\le4}. Imagem: [0,2]. Curvas de nível: elipses 4x2+y2=4-c^2 para c\in[0,2]. Gráfico: metade superior do elipsoide 4x2+y2+z^2=4.

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