Determine o domíno, a imagem e esboce curvas de nível da função. Utilize as curvas de nível para esboçar o gráfico da função.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o domínio, a imagem, fazer o esboço das curvas de nível e, a partir delas, esboçar o gráfico da função
. O conteúdo envolve desigualdades para domínio, análise de máximo e mínimo para imagem e curvas de nível de funções de duas variáveis.
Passo 2
Para achar o domínio, devemos garantir que o radicando seja não-negativo:
Isso equivale a
que é a região interior de uma elipse.
Passo 3
A imagem vem dos valores que
assume no domínio. Como é uma raiz,
. O valor máximo surge em
, onde
e o valor mínimo em qualquer ponto da fronteira da elipse, onde
Logo,
Passo 4
As curvas de nível de nível
são dadas por
para
com eixos
de semi-raio
e
de semi-raio
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, note que
é exatamente a metade superior do elipsoide
As curvas de nível vão subindo de
(na elipse de equação
) até o ponto
.
Resposta
Domínio: D={(x,y)\mid4x2+y2\le4}. Imagem: [0,2]. Curvas de nível: elipses 4x2+y2=4-c^2 para c\in[0,2]. Gráfico: metade superior do elipsoide 4x2+y2+z^2=4.