Resvolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja,
, para isso, determine o valor da contante
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver uma equação diferencial de Cauchy–Euler
com condições de contorno não-triviais
Então o conteúdo é equação de Cauchy–Euler e vamos precisar usar a forma ansatz
para achar os expoentes e depois impor as condições de contorno.
Passo 2
Procuramos uma solução do tipo
. Substituindo em
vem a equação característica
que simplifica para
Passo 3
Para obter solução não-trivial, escolhemos o caso de raízes complexas. As raízes são
com
Assim a solução geral é
Passo 4
Aplicamos a condição
:
Logo
e a solução reduz para
Passo 5
Agora impomos
:
Para ter
é necessário
Passo 6
Como
, temos
ou seja
elevando ao quadrado
logo
Resposta
Os valores de k que permitem solução não trivial são