Resvolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja, y(x) neq 0, para isso, determine o valor da contante k.
x^2 y^prime prime+2 x y^prime+k y=0
y(1)=0
y(e^2)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver uma equação diferencial de Cauchy–Euler
x^2y'' + 2xy' + k y = 0
com condições de contorno não-triviais
y(1)=0, y(e^2)=0
Então o conteúdo é equação de Cauchy–Euler e vamos precisar usar a forma ansatz y=x^m para achar os expoentes e depois impor as condições de contorno.

Passo 2

Procuramos uma solução do tipo y=x^m. Substituindo em
x^2y'' + 2x y' + k y = 0
vem a equação característica
m(m-1) + 2m + k = 0
que simplifica para
m^2 + m + k = 0

Passo 3

Para obter solução não-trivial, escolhemos o caso de raízes complexas. As raízes são
m = -1 pm raiz1 - 4k2 = -tfrac12 pm ibeta,
com
beta = raiz4k - 12
Assim a solução geral é
y(x) = x^-tfrac12l(C1cos(betaln x) + C2sin(betaln x)r)

Passo 4

Aplicamos a condição y(1)=0:
y(1)=1^-1/2l(C1cos0 + C2sin0r) = C1 = 0
Logo C1=0 e a solução reduz para
y(x)=C2,x^-tfrac12sin(betaln x)

Passo 5

Agora impomos y(e^2)=0:
y(e^2) = C2,(e^2)^-1/2sinl(betaln(e^2)r) = C2,e^-1sin(2beta) = 0
Para ter C2neq0 é necessário
sin(2beta)=0 Longrightarrow 2beta = npi, ninZ

Passo 6

Como beta=tfracraiz4k-12, temos
2cdotraiz4k-12 = npi
ou seja
raiz4k-1=npi
elevando ao quadrado
4k - 1 = n^2pi^2
logo
k = 1 + n^2pi^24, n=1,2,3,dots .

Resposta

Os valores de k que permitem solução não trivial são
k = 1 + n^2pi^24, n=1,2,3,dots

Exercícios relacionados