Determine o domíno, a imagem e esboce curvas de nível da função. Utilize as curvas de nível para esboçar o gráfico da função.
f(x, y)=raiz4 x^2+y^2;

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio, a imagem e as curvas de nível da função f : ℝ²→ℝ definida por $f(x,y)=\sqrt{4x2+y2}$. Em seguida, usar essas curvas de nível para esboçar o gráfico tridimensional. Vamos aplicar conceitos de domínio de funções de duas variáveis, imagem (alcance) e definição de curvas de nível.

Passo 2

Para determinar o domínio, lembramos que o argumento da raiz deve ser não-negativo. Temos $4x2+y2\ge0$ para todo $(x,y)\in\mathbb{R}^2$. Logo, não há restrição e o domínio é $\mathbb{R}^2$.

Passo 3

A imagem de $f$ é o conjunto de valores possíveis de $f(x,y)$. Como uma raiz quadrada sempre produz $f(x,y)\ge0$ e atinge 0 em $(0,0)$, mas cresce sem limite quando $x$ ou $y$ aumenta, a imagem é o intervalo $[0,\infty)$.

Passo 4

As curvas de nível são definidas por $f(x,y)=c$, com $c\ge0$. Então
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f(x,y)=c
que são elipses centradas na origem, de semi-eixos $a=c/2$ (direção $x$) e $b=c$ (direção $y$).

Passo 5

Para esboçar as curvas de nível, basta desenhar no plano xy algumas dessas elipses para valores típicos de $c$ (por exemplo, $c=1,2,3$). Elas ficam alinhadas umas dentro das outras, todas centradas em $(0,0)$.

Passo 6

Sabendo que, para cada altura $z=c$, a interseção da superfície $z=f(x,y)$ é uma dessas elipses, concluímos que o gráfico é um cone elíptico com vértice em $(0,0,0)$ e abertura linear. As elipses crescem de forma proporcional a $c$ conforme nos afastamos do vértice.
Com essas informações, podemos traçar um esboço 3D do cone elíptico: um ponto agudo na origem e, à medida que $z$ aumenta, elipses de seção transversal cada vez maiores.

Resposta

Domínio: $\mathbb{R}^2$. Imagem: $[0,\infty)$. Curvas de nível: elipses definidas por $4x2+y2=c^2$ para cada $c\ge0$. Gráfico: cone elíptico com vértice na origem e seções transversais elípticas que crescem linearmente.

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