Esboce a curva de nível para
para os valores especificados de
:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função $ z = x^{2} + 9y^{2} $ e queremos esboçar a curva de nível para $ z = 1 $. Isso significa que vamos encontrar todas as combinações de $ x $ e $ y $ que fazem $ z $ ser igual a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre curvas como elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ z $ por 1 na equação dada. Ficamos com:
Isso nos dá uma equação que relaciona $ x $ e $ y $.
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para identificar que tipo de curva ela representa. Podemos escrever:
Essa forma é conhecida como a equação padrão de uma elipse, que é:
Onde $ a $ e $ b $ são os comprimentos dos semi-eixos da elipse.
Passo 4
Comparando as duas equações, vemos que:
Então, a elipse tem um semi-eixo maior de comprimento 1 na direção $ x $ e um semi-eixo menor de comprimento $ \frac{1}{3} $ na direção $ y $.
Passo 5
Com esses valores, podemos esboçar a elipse no plano $ xy $. Ela estará centrada na origem (0,0), estendendo-se de -1 a 1 no eixo $ x $ e de $ -\frac{1}{3} $ a $ \frac{1}{3} $ no eixo $ y $.
Resposta
A curva de nível para $ z = 1 $ é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior de comprimento 1 ao longo do eixo $ x $ e semi-eixo menor de comprimento $ \frac{1}{3} $ ao longo do eixo $ y $.