Esboce a curva de nível para z=k para os valores especificados de k :
b) z=x^2+9 y^2, k=1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função $ z = x^{2} + 9y^{2} $ e queremos esboçar a curva de nível para $ z = 1 $. Isso significa que vamos encontrar todas as combinações de $ x $ e $ y $ que fazem $ z $ ser igual a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre curvas como elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir $ z $ por 1 na equação dada. Ficamos com:
z
Isso nos dá uma equação que relaciona $ x $ e $ y $.

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para identificar que tipo de curva ela representa. Podemos escrever:
x^21 + y^219 = 1
Essa forma é conhecida como a equação padrão de uma elipse, que é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Onde $ a $ e $ b $ são os comprimentos dos semi-eixos da elipse.

Passo 4

Comparando as duas equações, vemos que:
a^2 = 1 Rightarrow a = 1
b^2 = 19 Rightarrow b = 13
Então, a elipse tem um semi-eixo maior de comprimento 1 na direção $ x $ e um semi-eixo menor de comprimento $ \frac{1}{3} $ na direção $ y $.

Passo 5

Com esses valores, podemos esboçar a elipse no plano $ xy $. Ela estará centrada na origem (0,0), estendendo-se de -1 a 1 no eixo $ x $ e de $ -\frac{1}{3} $ a $ \frac{1}{3} $ no eixo $ y $.

Resposta

A curva de nível para $ z = 1 $ é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior de comprimento 1 ao longo do eixo $ x $ e semi-eixo menor de comprimento $ \frac{1}{3} $ ao longo do eixo $ y $.

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