Determine o domíno, a imagem e esboce curvas de nível das funções. Utilize as curvas de nível para esboçar o gráfico das funções.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio, a imagem e esboçar as curvas de nível da função
. Além disso, temos que usar essas curvas de nível para desenhar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de funções de duas variáveis, como domínio, imagem, e curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Olhando para
, percebemos que não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos. Aqui, estamos lidando com polinômios que são definidos para todos os números reais. Portanto:
Domínio:
(ou seja, todos os pares
reais).
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir. Observando a função
:
- Como
e são sempre positivos ou zero, a soma também será sempre positiva ou zero. - Portanto,
será sempre menor ou igual a 9.
Matematicamente:
E como
pode crescer indefinidamente,
pode ir até
.
Imagem:
.
Passo 4
Vamos agora esboçar as curvas de nível. As curvas de nível são linhas onde a função assume valores constantes. Para encontrar essas curvas, definimos
, onde
é uma constante.
Então:
Rearranjando:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem
e raio
. Isso vale enquanto
, ou seja,
.
Exemplo de curvas de nível:
- Para
: (um círculo com raio 3). - Para
: (um círculo com raio 2). - E assim por diante.
Passo 5
Finalmente, usando as curvas de nível, podemos esboçar o gráfico da função
. As curvas de nível nos mostram que, conforme
aumenta até 9, os círculos ficam menores, concentrando-se no ponto
.
Isso resulta em um paraboloide de revolução voltado para baixo, com o ponto mais alto no vértice
.
Resposta
- Domínio:
(todos os pares reais). - Imagem:
. - Curvas de nível: Círculos concêntricos com centro na origem e raios
, onde . - Gráfico da função: Um paraboloide de revolução voltado para baixo, com vértice em
.