Determine o domíno, a imagem e esboce curvas de nível das funções. Utilize as curvas de nível para esboçar o gráfico das funções. f(x, y) = 9 - x^2 - y^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio, a imagem e esboçar as curvas de nível da função . Além disso, temos que usar essas curvas de nível para desenhar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de funções de duas variáveis, como domínio, imagem, e curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Olhando para , percebemos que não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos. Aqui, estamos lidando com polinômios que são definidos para todos os números reais. Portanto:
Domínio: (ou seja, todos os pares reais).

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Observando a função :
  • Como e são sempre positivos ou zero, a soma também será sempre positiva ou zero.
  • Portanto, será sempre menor ou igual a 9.
Matematicamente:
E como pode crescer indefinidamente, pode ir até .
Imagem: .

Passo 4

Vamos agora esboçar as curvas de nível. As curvas de nível são linhas onde a função assume valores constantes. Para encontrar essas curvas, definimos , onde é uma constante.
Então:
Rearranjando:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem e raio . Isso vale enquanto , ou seja, .
Exemplo de curvas de nível:
  • Para : (um círculo com raio 3).
  • Para : (um círculo com raio 2).
  • E assim por diante.

Passo 5

Finalmente, usando as curvas de nível, podemos esboçar o gráfico da função . As curvas de nível nos mostram que, conforme aumenta até 9, os círculos ficam menores, concentrando-se no ponto .
Isso resulta em um paraboloide de revolução voltado para baixo, com o ponto mais alto no vértice .

Resposta

  • Domínio: (todos os pares reais).
  • Imagem: .
  • Curvas de nível: Círculos concêntricos com centro na origem e raios , onde .
  • Gráfico da função: Um paraboloide de revolução voltado para baixo, com vértice em .

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