Encontre, se existir, as assintotas horizontais e verticais do gráfico da equação a seguir faça um esboço do mesmo. x^2 y - 2 x^2 - y - 2 = 0;

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema que você me enviou. A gente precisa encontrar as assíntotas horizontais e verticais da equação e fazer um esboço do gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar trabalhar com álgebra para rearranjar a equação e entender o comportamento dela quando ou tendem ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação para facilitar a identificação das assíntotas. Vamos reorganizar os termos:
Agora, fatorando o do lado esquerdo:
E, finalmente, isolando :

Passo 3

Vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da fração é zero, pois a função tende ao infinito nesses pontos. Então, igualamos o denominador a zero:
Portanto, temos duas assíntotas verticais em e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito. Olhando para a expressão de :
Dividindo o numerador e o denominador por :
Quando tende ao infinito, os termos e tendem a zero, então:
Assim, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Com as assíntotas identificadas, podemos fazer um esboço do gráfico:
  • Assíntotas verticais em e .
  • Assíntota horizontal em .
O gráfico terá duas ramas principais aproximando-se dessas linhas conforme vai para ou .

Resposta

As assíntotas verticais são e , e a assíntota horizontal é . O esboço do gráfico apresenta essas assíntotas como linhas de referência, com o gráfico se aproximando delas conforme aumenta ou diminui.

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