Encontre, se existir, as assintotas horizontais e verticais do gráfico da equação a seguir faça um esboço do mesmo.
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Passo 1
Beleza, vamos analisar o problema que você me enviou. A gente precisa encontrar as assíntotas horizontais e verticais da equação
e fazer um esboço do gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar trabalhar com álgebra para rearranjar a equação e entender o comportamento dela quando
ou
tendem ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação para facilitar a identificação das assíntotas. Vamos reorganizar os termos:
Agora, fatorando o
do lado esquerdo:
E, finalmente, isolando
:
Passo 3
Vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da fração é zero, pois a função tende ao infinito nesses pontos. Então, igualamos o denominador a zero:
Portanto, temos duas assíntotas verticais em
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Olhando para a expressão de
:
Dividindo o numerador e o denominador por
:
Quando
tende ao infinito, os termos
e
tendem a zero, então:
Assim, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Com as assíntotas identificadas, podemos fazer um esboço do gráfico:
- Assíntotas verticais em
e . - Assíntota horizontal em
.
O gráfico terá duas ramas principais aproximando-se dessas linhas conforme
vai para
ou
.
Resposta
As assíntotas verticais são
e
, e a assíntota horizontal é
. O esboço do gráfico apresenta essas assíntotas como linhas de referência, com o gráfico se aproximando delas conforme
aumenta ou diminui.