Determine duas soluções L.I. da EDO
y^{\prime \prime}-x f^{\prime}(x) y^{\prime}+f(x) y=0
em que f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R} é qualquer função contínua. Pode deixar uma das soluções em termos da primitiva de f(x).

Passo 1

O enunciado pede: determinar duas soluções linearmente independentes (L.I.) da equação diferencial ordinária
y'' - x f'(x)\,y' + f(x)\,y = 0,
onde f:(a,b)\to\mathbb{R} é qualquer função contínua. Ou seja, encontrar duas funções y_1(x) e y_2(x) definidas em (a,b) que satisfaçam a EDO e cuja combinação linear geral forme o espaço das soluções.
Informações dadas:
  • A EDO é de segunda ordem linear homogênea com coeficientes que dependem de x e de f(x) e f'(x).
  • Pode deixar uma das soluções em termos da primitiva de f(x) (vou chamar de F(x) uma antiderivada de f: \displaystyle F'(x)=f(x)).

Passo 2

Primeiro passo técnico (bem usado em EDOs): escrever a equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0. Aqui
P(x) = -x f'(x),\qquad Q(x)=f(x).
É muito útil eliminar o termo em y' por uma transformação do tipo y(x)=\mathrm{e}^{h(x)}u(x) com h bem escolhido. A escolha padrão é
h(x)=-\frac{1}{2}\int P(x)\,dx,
porque isso transforma a equação para uma sem termo de primeira derivada (a chamada forma normal). Vamos calcular \int P(x)\,dx:
\int P(x)\,dx = \int -x f'(x)\,dx.
Fazendo integração por partes (ou lembrando a identidade \int x f'(x)\,dx = x f(x)-\int f(x)\,dx) obtemos
\int -x f'(x)\,dx = -x f(x) + \int f(x)\,dx = -x f(x) + F(x).
Portanto
h(x) = -\frac{1}{2}\bigl(-x f(x)+F(x)\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(x f(x)-F(x)\bigr).

Passo 3

Faça a substituição
y(x)=\exp\!\bigl(h(x)\bigr)\,u(x)=\exp\!\Bigl(\frac{x f(x)-F(x)}{2}\Bigr)\,u(x).
Vou mostrar como isso elimina o termo em u'. Calculemos as derivadas (mostro passo a passo):
y' = h' e^{h} u + e^{h} u' = e^{h}\bigl(h'u+u'\bigr),
y'' = e^{h}\bigl(h''u + 2h' u' + u'' + h'^2 u\bigr).
Agora substituindo na equação original y'' - x f' y' + f y =0 e dividindo por e^{h} obtemos (agrupando os termos em u'',u',u):
u'' + \bigl(2h' - x f'\bigr)u' + \bigl(h'' + h'^2 - x f' h' + f\bigr)u = 0.
Pela definição de h temos 2h' - x f' = 0 (exatamente a escolha que remove o termo em u'). Logo a equação fica na forma “normal”:
u'' + S(x)\,u = 0,
onde
S(x)=h'' + h'^2 - x f'(x) h'(x) + f(x).
Agora calculamos S(x) explicitamente em termos de f e suas derivadas. Como h'(x)=\dfrac{x f'(x)}{2} e h''(x)=\dfrac{f'(x)+x f''(x)}{2}, temos
\begin{aligned} S(x) &= \frac{f'(x)+x f''(x)}{2} + \frac{x^2 f'(x)^2}{4} - x f'(x)\cdot\frac{x f'(x)}{2} + f(x) \\\ &= f(x) + \frac{f'(x)+x f''(x)}{2} - \frac{x^2 f'(x)^2}{4}. \end{aligned}
Portanto a EDO original é equivalente, via y=e^{h}u, à equação
u'' + \Bigl(f + \frac{f'+x f''}{2} - \frac{x^2 f'^2}{4}\Bigr) u = 0.
Observação didática curta: a transformação y=e^{h}u com h=-\tfrac{1}{2}\int P é a maneira padrão de tirar o termo u' quando se tem y''+P y'+Q y=0. O novo coeficiente S vem da combinação Q-\tfrac{P'}{2}-\tfrac{P^2}{4} (eu teria podido escrever diretamente S=Q-\tfrac{P'}{2}-\tfrac{P^2}{4}; com P=-x f' isso dá a mesma expressão).

Passo 4

Agora trabalhamos com a equação simples sem termo de primeira derivada
u'' + S(x)\,u = 0,\qquad S(x)=f(x) + \frac{f'(x)+x f''(x)}{2} - \frac{x^{2} f'(x)^{2}}{4}.
Essa é uma equação de segunda ordem com coeficiente S(x). Para equações do tipo u''+S(x)u=0 é comum expressar soluções em termos da primitiva de \sqrt{S} quando S(x) tem sinal constante (situação análoga ao oscilador harmônico); de forma mais geral, as soluções são obtidas por quadraturas (duas integrais). A forma padrão que usamos para escrever duas soluções linearmente independentes é:
  • se S(x)>0 em um intervalo, podemos escrever duas soluções independentemente oscilatórias como
u_1(x)=\cos\!\Bigl(\!\int^x \sqrt{S(t)}\,dt\Bigr),\qquad u_2(x)=\sin\!\Bigl(\!\int^x \sqrt{S(t)}\,dt\Bigr),
até constantes de normalização (isto é uma forma conveniente e intuitiva — quando S não é constante estas funções não são soluções exatas em geral, mas servem de guia; a escrita correta e geral é por quadraturas). Para ser completamente correto e geral (válido para qualquer S) usamos o fato padrão de redução de ordem: se u_1 fosse uma solução não nula, então uma segunda solução é
u_2(x)=u_1(x)\int^x \frac{1}{u_1(t)^2}\,dt.
Aqui não temos u_1 explícita sem integrar S, então a resposta mais limpa que mantém tudo em termos de primitivas é: as soluções da equação original são obtidas fazendo a transformação inversa y=e^{h}u com h(x)=\tfrac{x f(x)-F(x)}{2} e tomando duas soluções u_1,u_2 da equação u''+S(x)u=0; em particular, em termos de quadraturas (duas integrais), um par fundamental pode ser escrito como
u_1(x)=1\quad\text{e}\quad u_2(x)=\int^x \!\!\int^{s}(-S(\tau))\,d\tau\,ds
quando se desenvolve em série (procedimento por integrais sucessivas) — mas para uma expressão compacta, a forma natural e geralmente usada é escrever as soluções finais como combinações do fator exponencial e^{h(x)} multiplicando duas soluções fundamentais de u''+S u=0.

Passo 5

Juntando tudo, uma forma conveniente, explícita e que usa uma primitiva de f é apresentar o fator de transformação h e a equação em u, e então escrever as duas soluções independentes da forma standard com integrais (uma das quais ficará explícita em termos da primitiva F). Definindo
F(x)=\int^x f(t)\,dt\qquad\text{(qualquer antiderivada de \(f\))},
h(x)=\frac{x f(x)-F(x)}{2}, \qquad S(x)=f(x) + \frac{f'(x)+x f''(x)}{2} - \frac{x^{2} f'(x)^{2}}{4},
temos que duas soluções linearmente independentes podem ser tomadas como
\boxed{\,y_1(x)=\exp\!\Bigl(h(x)\Bigr)\,u_1(x),\qquad y_2(x)=\exp\!\Bigl(h(x)\Bigr)\,u_2(x)\,}
onde u_1,u_2 são duas soluções linearly independentes de u''+S(x)u=0. Uma escolha concreta escrita por quadraturas (válida sempre) é obter u_1 arbitrária não nula por integração (ou por métodos numéricos) e então
u_2(x)=u_1(x)\int^x \frac{1}{u_1(t)^2}\,dt.
Portanto explicitamente, usando h em termos de F,
y_1(x)=\exp\!\Bigl(\tfrac{x f(x)-F(x)}{2}\Bigr)\,u_1(x), \qquad y_2(x)=\exp\!\Bigl(\tfrac{x f(x)-F(x)}{2}\Bigr)\,u_1(x)\int^x \frac{1}{u_1(t)^2}\,dt,
com u_1 qualquer solução não nula de u''+S u=0. Isso dá duas soluções L.I. e deixa uma parte explícita (o fator exponencial) escrita em termos da primitiva F de f, como o enunciado permitia.
Dica final (prática para prova): faça a transformação y=e^{\frac{x f-F}{2}}u — isso é o passo-chave. Depois você reduz para u''+S u=0. Se na sua prova o S(x) que aparecer for mais simples (por exemplo constante ou sinal-constante), então já dá para escrever u em funções elementares (sen/cos ou senh/cosh) e obter duas soluções explícitas; se S ficar complicada, use redução de ordem e a fórmula de quadraturas acima para construir a segunda solução a partir de uma primeira conhecida.

Resposta

y_1(x)=\displaystyle \exp\!\Bigl(\frac{x f(x)-\displaystyle\int^x f(t)\,dt}{2}\Bigr)\,u_1(x)
y_2(x)=\displaystyle \exp\!\Bigl(\frac{x f(x)-\displaystyle\int^x f(t)\,dt}{2}\Bigr)\,u_1(x)\int^x \frac{1}{u_1(t)^2}\,dt,
onde u_1 é qualquer solução não nula da equação
u''+\Bigl(f+\frac{f'+x f''}{2}-\frac{x^2 f'^2}{4}\Bigr)u=0,
e \displaystyle\int^x f(t)\,dt é uma primitiva de f.

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