Determine duas soluções L.I. da EDO
em que
é qualquer função contínua. Pode deixar uma das soluções em termos da primitiva de
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar duas soluções linearmente independentes (L.I.) da equação diferencial ordinária
onde
é qualquer função contínua. Ou seja, encontrar duas funções
e
definidas em
que satisfaçam a EDO e cuja combinação linear geral forme o espaço das soluções.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A EDO é de segunda ordem linear homogênea com coeficientes que dependem de
e de e . - Pode deixar uma das soluções em termos da primitiva de
(vou chamar de uma antiderivada de : ).
Passo 2
Primeiro passo técnico (bem usado em EDOs): escrever a equação na forma padrão
. Aqui
É muito útil eliminar o termo em
por uma transformação do tipo
com
bem escolhido. A escolha padrão é
porque isso transforma a equação para uma sem termo de primeira derivada (a chamada forma normal). Vamos calcular
:
Fazendo integração por partes (ou lembrando a identidade
) obtemos
Portanto
Passo 3
Faça a substituição
Vou mostrar como isso elimina o termo em
. Calculemos as derivadas (mostro passo a passo):
Agora substituindo na equação original
e dividindo por
obtemos (agrupando os termos em
):
Pela definição de
temos
(exatamente a escolha que remove o termo em
). Logo a equação fica na forma “normal”:
onde
Agora calculamos
explicitamente em termos de
e suas derivadas. Como
e
, temos
Portanto a EDO original é equivalente, via
, à equação
Observação didática curta: a transformação
com
é a maneira padrão de tirar o termo
quando se tem
. O novo coeficiente
vem da combinação
(eu teria podido escrever diretamente
; com
isso dá a mesma expressão).
Passo 4
Agora trabalhamos com a equação simples sem termo de primeira derivada
Essa é uma equação de segunda ordem com coeficiente
. Para equações do tipo
é comum expressar soluções em termos da primitiva de
quando
tem sinal constante (situação análoga ao oscilador harmônico); de forma mais geral, as soluções são obtidas por quadraturas (duas integrais). A forma padrão que usamos para escrever duas soluções linearmente independentes é:
- se
em um intervalo, podemos escrever duas soluções independentemente oscilatórias como
até constantes de normalização (isto é uma forma conveniente e intuitiva — quando
não é constante estas funções não são soluções exatas em geral, mas servem de guia; a escrita correta e geral é por quadraturas). Para ser completamente correto e geral (válido para qualquer
) usamos o fato padrão de redução de ordem: se
fosse uma solução não nula, então uma segunda solução é
Aqui não temos
explícita sem integrar
, então a resposta mais limpa que mantém tudo em termos de primitivas é: as soluções da equação original são obtidas fazendo a transformação inversa
com
e tomando duas soluções
da equação
; em particular, em termos de quadraturas (duas integrais), um par fundamental pode ser escrito como
quando se desenvolve em série (procedimento por integrais sucessivas) — mas para uma expressão compacta, a forma natural e geralmente usada é escrever as soluções finais como combinações do fator exponencial
multiplicando duas soluções fundamentais de
.
Passo 5
Juntando tudo, uma forma conveniente, explícita e que usa uma primitiva de
é apresentar o fator de transformação
e a equação em
, e então escrever as duas soluções independentes da forma standard com integrais (uma das quais ficará explícita em termos da primitiva
). Definindo
temos que duas soluções linearmente independentes podem ser tomadas como
onde
são duas soluções linearly independentes de
. Uma escolha concreta escrita por quadraturas (válida sempre) é obter
arbitrária não nula por integração (ou por métodos numéricos) e então
Portanto explicitamente, usando
em termos de
,
com
qualquer solução não nula de
. Isso dá duas soluções L.I. e deixa uma parte explícita (o fator exponencial) escrita em termos da primitiva
de
, como o enunciado permitia.
Dica final (prática para prova): faça a transformação
— isso é o passo-chave. Depois você reduz para
. Se na sua prova o
que aparecer for mais simples (por exemplo constante ou sinal-constante), então já dá para escrever
em funções elementares (sen/cos ou senh/cosh) e obter duas soluções explícitas; se
ficar complicada, use redução de ordem e a fórmula de quadraturas acima para construir a segunda solução a partir de uma primeira conhecida.
Resposta
onde
é qualquer solução não nula da equação
e
é uma primitiva de
.