Determine duas soluções Linearmente independentes de cada uma das equações
$y^{\prime \prime}-f(x) y^{\prime}+[f(x)-1] y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
y'' - f(x)\,y' + \bigl(f(x)-1\bigr)\,y = 0
procurando duas soluções \emph{linearmente independentes}. O conteúdo aqui é a resolução de uma EDO linear homogênea de coeficientes não constantes, usando o palpite de uma solução exponencial e, em seguida, redução de ordem.

Passo 2

Testamos a primeira solução do tipo exponencial. Seja
y_{1}(x) = e^{x}.
Então
y_{1}' = e^{x}, \quad y_{1}'' = e^{x},
e substituindo na equação:
y_{1}'' - f(x)\,y_{1}' + \bigl(f(x)-1\bigr)\,y_{1} = e^{x} - f(x)e^{x} + \bigl(f(x)-1\bigr)e^{x} = e^{x}\bigl(1 - f(x) + f(x) - 1\bigr) = 0.
Logo y_{1}(x)=e^{x} é uma solução.

Passo 3

Para achar a segunda solução usamos redução de ordem. Suponha
y_{2}(x) = u(x)\,e^{x}.
Calculamos
y_{2}' = u'e^{x} + u\,e^{x}, \quad y_{2}'' = u''e^{x} + 2u'e^{x} + u\,e^{x}.
Substituindo na EDO obtém-se, após fatorar e^{x},
u'' + \bigl(2 - f(x)\bigr)\,u' = 0.
Defina v = u'. Então
v' + \bigl(2 - f(x)\bigr)\,v = 0
é uma EDO linear de primeira ordem em v. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int (2 - f(x))\,dx\Bigr) = e^{2x - \int f(x)\,dx},
de onde
v(x) = u'(x) = C\,e^{-\bigl(2x - \int f(x)\,dx\bigr)} = C\,e^{-2x + \int f(x)\,dx}.
Integrando,
u(x) = \int v(x)\,dx = C \int e^{-2x + \int f(x)\,dx}\,dx + C_{2}.

Passo 4

A segunda solução é
y_{2}(x) = u(x)\,e^{x} = e^{x}\int e^{-2x + \int f(x)\,dx}\,dx,
onde descartamos constantes multiplicativas, pois basta uma solução qualquer para formar o conjunto fundamental.
Assim as duas soluções linearmente independentes são
y_{1}(x) = e^{x}, \qquad y_{2}(x) = e^{x}\int^{\,x} e^{-2t + \int^{\,t}f(s)\,ds}\,dt.

Resposta

y_{1}(x) = e^{x} y_{2}(x) = e^{x}\displaystyle\int^{\,x} e^{-2t + \int^{\,t}f(s)\,ds}\,dt

Exercícios relacionados