Determine duas soluções Linearmente independentes de cada uma das equações
$y^{\prime \prime}-f(x) y^{\prime}+[f(x)-1] y=0
$y^{\prime \prime}-f(x) y^{\prime}+[f(x)-1] y=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
procurando duas soluções \emph{linearmente independentes}. O conteúdo aqui é a resolução de uma EDO linear homogênea de coeficientes não constantes, usando o palpite de uma solução exponencial e, em seguida, redução de ordem.
Passo 2
Testamos a primeira solução do tipo exponencial. Seja
Então
e substituindo na equação:
Logo
é uma solução.
Passo 3
Para achar a segunda solução usamos redução de ordem. Suponha
Calculamos
Substituindo na EDO obtém-se, após fatorar
,
Defina
. Então
é uma EDO linear de primeira ordem em
. O fator integrante é
de onde
Integrando,
Passo 4
A segunda solução é
onde descartamos constantes multiplicativas, pois basta uma solução qualquer para formar o conjunto fundamental.
Assim as duas soluções linearmente independentes são