Suponha que o Wronskiano de duas soluções da equação diferencial
é igual a 1 , e que
é uma solução. Usando a fórmula de Abel, determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado dá a equação não homogênea
e informa que duas soluções da homogênea
têm Wronskiano
e que
é uma solução. Vamos usar a fórmula de Abel para obter
, depois achar a segunda solução
e por fim usar variação de parâmetros para construir a solução geral da não homogênea.
Passo 2
Pela fórmula de Abel, o Wronskiano de duas soluções da homogênea satisfaz
Como
para todo
, temos
Diferenciando,
. Portanto a homogênea é
Passo 3
Para achar a segunda solução
use a fórmula
Calculemos o integral:
Logo
Podemos, sem perda, escolher
Passo 4
Agora aplicamos variação de parâmetros para
com
,
e
. A fórmula dá
Calculemos cada integral separadamente:
Logo
Passo 5
O termo
pode ser absorvido na parte homogênea (coeficiente de
). Assim basta reter
Portanto a solução geral da não homogênea é