Se p e q são constantes e f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} é uma função contínua, mostre que, para quaisquer soluções y_{1}(x) e y_{2}(x) de
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(t),
tem-se
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[y_{1}(x)-y_{2}(x)\right]=0

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + p\,y' + q\,y = f(x),
onde p e q são constantes e f\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R} é contínua. Queremos mostrar que, dadas duas soluções quaisquer y_{1}(x) e y_{2}(x), a diferença delas tende a zero quando x\to+\infty. Para isso vamos usar a linearidade da equação e a análise da equação homogênea associada.

Passo 2

Defina
z(x)=y_{1}(x)-y_{2}(x).
Como y_{1} e y_{2} satisfazem
y''+p\,y'+q\,y=f(x),
subtraindo-os obtemos
z''+p\,z'+q\,z=0.
Ou seja, z satisfaz a equação homogênea de coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver
z''+p\,z'+q\,z=0
consideramos sua equação característica
\lambda^{2}+p\,\lambda+q=0.
As raízes são
\lambda_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^{2}-4q}}{2}.
Sob a hipótese usual de que \Re(\lambda_{1})<0 e \Re(\lambda_{2})<0 (por exemplo, se p>0 e q>0), as exponenciais e^{\lambda_{i}x} decaem para zero quando x\to+\infty.

Passo 4

A solução geral da homogênea é
z(x)=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x},
para constantes C_{1},C_{2} determinadas pelas condições iniciais. Como \Re(\lambda_{i})<0, cada termo e^{\lambda_{i}x}\to0 quando x\to+\infty. Logo
\lim_{x\to+\infty}z(x)=0.

Resposta

\lim_{x\to+\infty}\bigl[y_{1}(x)-y_{2}(x)\bigr]=0.

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