Se
e
são constantes e
é uma função contínua, mostre que, para quaisquer soluções
e
de
tem-se
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
e
são constantes e
é contínua. Queremos mostrar que, dadas duas soluções quaisquer
e
, a diferença delas tende a zero quando
. Para isso vamos usar a linearidade da equação e a análise da equação homogênea associada.
Passo 2
Defina
Como
e
satisfazem
subtraindo-os obtemos
Ou seja,
satisfaz a equação homogênea de coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver
consideramos sua equação característica
As raízes são
Sob a hipótese usual de que
e
(por exemplo, se
e
), as exponenciais
decaem para zero quando
.
Passo 4
A solução geral da homogênea é
para constantes
determinadas pelas condições iniciais. Como
, cada termo
quando
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