Determine a solução geral das equações
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\frac{1}{1+\sin (x)}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = \frac{1}{1+\sin(x)}.
O conteúdo envolvido é: 1) encontrar a solução geral da homogênea associada; 2) obter uma solução particular por variação de parâmetros; 3) somar as duas para formar a solução geral.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da homogênea
y'' + 3y' + 2y = 0.
A equação característica é
r^2 + 3r + 2 = 0
cuja raiz dupla é
r = -1 \quad\text{e}\quad r = -2.
Logo a solução da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Para uma solução particular usamos variação de parâmetros. Tomamos
y_p(x) = u_1(x)\,e^{-x} \;+\; u_2(x)\,e^{-2x},
com as condições auxiliares
u_1' e^{-x} + u_2' e^{-2x} = 0, \quad u_1'(-e^{-x}) + u_2'(-2e^{-2x}) = \frac{1}{1+\sin(x)}.
O Wronskiano de e^{-x} e e^{-2x} é
W = \begin{vmatrix} e^{-x} & e^{-2x} \\[6pt] -e^{-x} & -2e^{-2x} \end{vmatrix} = -e^{-3x}.
As fórmulas de variação de parâmetros dão
u_1' = -\,\frac{y_2\,f(x)}{W} = -\,\frac{e^{-2x}}{-e^{-3x}}\;\frac{1}{1+\sin(x)} = \frac{e^{x}}{1+\sin(x)},
u_2' = \frac{y_1\,f(x)}{W} = \frac{e^{-x}}{-e^{-3x}}\;\frac{1}{1+\sin(x)} = -\,\frac{e^{2x}}{1+\sin(x)},
onde f(x)=1/(1+\sin x).]

Passo 4

Agora integramos para obter u_1 e u_2 (os constantes de integração podem ser absorvidos em C_1,C_2):
u_1(x) = \int \frac{e^{x}}{1+\sin(x)}\,dx, \qquad u_2(x) = -\int \frac{e^{2x}}{1+\sin(x)}\,dx.
Logo uma forma válida para a solução particular é
y_p(x) = e^{-x}\int \frac{e^{x}}{1+\sin(x)}\,dx \;-\; e^{-2x}\int \frac{e^{2x}}{1+\sin(x)}\,dx.

Passo 5

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} \;+\; e^{-x}\!\int \frac{e^{x}}{1+\sin(x)}\,dx \;-\; e^{-2x}\!\int \frac{e^{2x}}{1+\sin(x)}\,dx.

Resposta

y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + e^{-x}\!\int \frac{e^{x}}{1+\sin(x)}\,dx - e^{-2x}\!\int \frac{e^{2x}}{1+\sin(x)}\,dx.

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