Determine a solução geral das equações y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\frac{1}{1+\sin (x)}
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = \frac{1}{1+\sin(x)}.
O conteúdo envolvido é: 1) encontrar a solução geral da homogênea associada; 2) obter uma solução particular por variação de parâmetros; 3) somar as duas para formar a solução geral.
Passo 2
Primeiro achamos a solução da homogênea
y'' + 3y' + 2y = 0.
A equação característica é
r^2 + 3r + 2 = 0
cuja raiz dupla é
r = -1 \quad\text{e}\quad r = -2.
Logo a solução da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}.
Passo 3
Para uma solução particular usamos variação de parâmetros. Tomamos