Determine a ea da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas:
y=ln (x), x=5 e o eixo Ox.

Passo 1

Então, a gente tem que achar a área da região no plano que está limitada pela curva , pela reta vertical e pelo eixo (que é quando ). Basicamente, vamos usar cálculo integral para descobrir essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites dessa região. A curva ln(x) = 0 Rightarrow x = 1 cruza o eixo quando . Então, vamos resolver :
Então, os limites de integração vão de até .

Passo 3

A área que queremos calcular pode ser encontrada integrando a função Área = integral1^5 ln(x) , dx em relação a de 1 a 5. A fórmula fica assim:
Á
Aqui, a gente está somando todas as pequenas áreas verticais sob a curva entre esses limites.

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de integral u , dv = uv - integral v , du é um pouco especial, mas lembra de uma técnica chamada integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
du = 1x dx e v = x
Vamos deixar integral ln(x) , dx = x ln(x) - integral x cdot 1x dx = x ln(x) - integral 1 , dx = x ln(x) - x + C e . Então, derivando e integrando:
Aplicando a fórmula:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de 1 a 5 na antiderivada que encontramos:
Área = [ x ln(x) - x ]1^5 = (5 ln(5) - 5) - (1 cdot ln(1) - 1) Á
Sabemos que Área = 5 ln(5) - 5 - (0 - 1) = 5 ln(5) - 5 + 1 = 5 ln(5) - 4 , então simplificando:
Área approx 5 times 1,6094 - 4 = 8,047 - 4 = 4,047 Á
Para obter um valor numérico, substituímos :
Á

Resposta

A área da região é aproximadamente unidades de área.

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