Determine a ea da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas:
e o eixo
.
Passo 1
Então, a gente tem que achar a área da região no plano que está limitada pela curva
, pela reta vertical
e pelo eixo
(que é quando
). Basicamente, vamos usar cálculo integral para descobrir essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites dessa região. A curva
cruza o eixo
quando
. Então, vamos resolver
:
Então, os limites de integração vão de
até
.
Passo 3
A área que queremos calcular pode ser encontrada integrando a função
em relação a
de 1 a 5. A fórmula fica assim:
Aqui, a gente está somando todas as pequenas áreas verticais sob a curva
entre esses limites.
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de
é um pouco especial, mas lembra de uma técnica chamada integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Vamos deixar
e
. Então, derivando e integrando:
Aplicando a fórmula:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de 1 a 5 na antiderivada que encontramos:
Sabemos que
, então simplificando:
Para obter um valor numérico, substituímos
:
Resposta
A área da região é aproximadamente
unidades de área.