Sejam an e bn sequências em R tais que, para algum N in N, temos 0 <= an <= bn para todo n >= N. Se lim n infty bn=0, então lim n infty an=0.
(b) lim n infty raiz[n]n=1.

Passo 1

O enunciado tem dois itens envolvendo limites de sequências em ℝ. No item (a) precisamos usar o teorema do confronto (ou sanduíche): dada uma sequência bn que tende a zero e outra an que fica entre zero e bn a partir de algum índice, mostrar que anto0. No item (b) queremos calcular limntoinftyraiz[n]n, usando propriedades de logaritmo e exponencial.

Passo 2

Para (a), como 0<= an<= bn para todo n>= N e limntoinftybn=0, basta aplicar o teorema do confronto. Dado varepsilon>0, existe N1 tal que para n>= N1 temos |bn-0|. Então para n>= max(N,N1) vale 0<= an<= bn, ou seja, |an-0|. Logo anto0.

Passo 3

Para (b), defina Ln=raiz[n]n. Observando que Ln=expl(tfracln nnr) e que a exponencial é contínua, basta estudar xn=tfracln nn. Como limntoinftytfracln nn=0 (por exemplo, via regra de L’Hôpital: limxtoinftytfracln xx=limxtoinftytfrac1/x1=0), segue lim Ln=exp(0)=1.

Resposta

limntoinftyan=0 e limntoinftyraiz[n]n=1

Exercícios relacionados