Sejam
e
sequências em
tais que, para algum
, temos
para todo
. Se
, então
.
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado tem dois itens envolvendo limites de sequências em ℝ. No item (a) precisamos usar o teorema do confronto (ou sanduíche): dada uma sequência
que tende a zero e outra
que fica entre zero e
a partir de algum índice, mostrar que
. No item (b) queremos calcular
, usando propriedades de logaritmo e exponencial.
Passo 2
Para (a), como
para todo
e
, basta aplicar o teorema do confronto. Dado
, existe
tal que para
temos
. Então para
vale
, ou seja,
. Logo
.
Passo 3
Para (b), defina
. Observando que
e que a exponencial é contínua, basta estudar
. Como
(por exemplo, via regra de L’Hôpital:
), segue
.