Encontre os primeiros 2 termos não nulos da série de Taylor em torno de x=0:
sec (x)=1cos (x)

Passo 1

O enunciado quer os primeiros dois termos não nulos da série de Taylor de sec(x) em torno de x=0. Para isso, vamos usar a expansão de Maclaurin de cos(x) e em seguida inverter essa série para obter sec(x) = 1/cos(x).

Passo 2

A série de Maclaurin de cos(x) até a ordem x^2 é:
cos(x) = 1 - x^22 + O(x^4)
Chamando u(x) = -tfracx^22 + O(x^4), temos cos(x) = 1 + u(x). Para invertê-la, usamos a expansão formal
11+u = 1 - u + O(u^2)
Substituindo u(x) nessa fórmula:
sec(x) = 1cos(x) = 1 - l(-tfracx^22r) + O(x^4) = 1 + x^22 + O(x^4)
Assim, os dois primeiros termos não nulos são obtidos até x^2.

Resposta

1 + x^22

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