Mostre que a série sumn=0^infty 1n! converge. A constante matemática e é definida como a soma dessa série.

Passo 1

Resumo do enunciado: Vamos mostrar que a série sumn=0^infty 1n! converge. O conteúdo envolve séries numéricas e usaremos o teste da razão para comprovar a convergência.

Passo 2

Na teoria de séries numéricas, o teste da razão diz que, dada a série sum an, se limntoinfty |an+1an| = L e L<1, então a série converge absolutamente e, por consequência, converge.

Passo 3

Definimos an = 1n!. Assim, o quociente de termos consecutivos é
|an+1an| = 1/(n+1)!1/n! = 1n+1

Passo 4

Calculamos o limite:
limntoinfty 1n+1 = 0
Como 0<1, o teste da razão garante que a série converge.

Passo 5

Portanto, a série sumn=0^infty 1n! converge absolutamente e, consequentemente, converge.
Define-se a constante e como a soma dessa série.

Resposta

A série sumn=0^infty 1n! converge pelo teste da razão (o limite dos quocientes é 0<1) e sua soma é a constante e.

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