Mostre que a série converge. A constante matemática é definida como a soma dessa série.
Passo 1
Resumo do enunciado: Vamos mostrar que a série converge. O conteúdo envolve séries numéricas e usaremos o teste da razão para comprovar a convergência.
Passo 2
Na teoria de séries numéricas, o teste da razão diz que, dada a série , se e L<1, então a série converge absolutamente e, por consequência, converge.
Passo 3
Definimos an = 1n!. Assim, o quociente de termos consecutivos é
|an+1an| = 1/(n+1)!1/n! = 1n+1
Passo 4
Calculamos o limite:
limntoinfty 1n+1 = 0
Como 0<1, o teste da razão garante que a série converge.
Passo 5
Portanto, a série sumn=0^infty 1n! converge absolutamente e, consequentemente, converge.
Define-se a constante e como a soma dessa série.
Resposta
A série sumn=0^infty 1n! converge pelo teste da razão (o limite dos quocientes é 0<1) e sua soma é a constante e.