Determine if each sequence
given below is periodic, and if it is, find its fundamental period
.
;
Passo 1
O enunciado dá a sequência complexa discreta
onde o índice inteiro está escrito como
(assume-se
). As perguntas são:
- A sequência é periódica?
- Se for periódica, qual é o período fundamental
?
Passo 2
Condição teórica (explicada passo a passo):
- Considere uma sequência do tipo
, com constante e frequência angular (em radianos por índice inteiro). - Essa sequência é periódica se existe um inteiro positivo
tal que
- Cancelando o fator comum
, obtemos a condição
- A igualdade
ocorre exatamente quando
para algum inteiro
. Essa é a equação fundamental para encontrar
.
- Dividindo por
obtemos
Ou seja,
deve ser um número racional
(com
inteiros e positivos em forma irredutível). Se isso ocorrer, o menor período inteiro positivo
é o denominador
da fração irreduzida
.
- Observação: o fator amplitude
(aqui ) não interfere na periodicidade, só a parte exponencial interessa.
Passo 3
Aplicando ao problema:
- Identificamos a frequência angular da sequência como
- Calculamos a razão com
:
- A fração
já está em termos inteiros e irredutível (máximo divisor comum entre e é ). Assim com e . - Pelo raciocínio do passo anterior, existe um período inteiro e o menor período positivo (fundamental) é
- Verificação direta: verificar que
:
portanto funciona e não existe
menor que
que satisfaça isso porque
.
Passo 4
Interpretação final e dica para prova:
- Conclusão prática: sim, a sequência é periódica porque
é racional. - Dica rápida para usar na prova: sempre calcule
e reduza a fração; o denominador reduzido é o período fundamental. Lembre-se que a amplitude não importa para essa verificação. - Um exemplo extra para fixar: se
então e o período fundamental seria .
Resposta
Periódica