Determine if each sequence x given below is periodic, and if it is, find its fundamental period N.
x(n)=2 e^{j(3 \pi / 10) r};

Passo 1

O enunciado dá a sequência complexa discreta
x(n)=2e^{j\frac{3\pi}{10}r},
onde o índice inteiro está escrito como r (assume-se r\in\mathbb{Z}). As perguntas são:
  • A sequência é periódica?
  • Se for periódica, qual é o período fundamental N?

Passo 2

Condição teórica (explicada passo a passo):
  • Considere uma sequência do tipo x[n]=Ae^{j\omega_0 n}, com A constante e \omega_0 frequência angular (em radianos por índice inteiro).
  • Essa sequência é periódica se existe um inteiro positivo N tal que
e^{j\omega_0(n+N)}=e^{j\omega_0 n}\quad\text{para todo \(n\)}.
  • Cancelando o fator comum e^{j\omega_0 n}, obtemos a condição
e^{j\omega_0 N}=1.
  • A igualdade e^{j\omega_0 N}=1 ocorre exatamente quando
\omega_0 N = 2\pi k
para algum inteiro k. Essa é a equação fundamental para encontrar N.
  • Dividindo por 2\pi obtemos
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{k}{N}.
Ou seja, \dfrac{\omega_0}{2\pi} deve ser um número racional p/q (com p,q inteiros e positivos em forma irredutível). Se isso ocorrer, o menor período inteiro positivo N é o denominador q da fração irreduzida \dfrac{\omega_0}{2\pi}=\dfrac{p}{q}.
  • Observação: o fator amplitude A (aqui 2) não interfere na periodicidade, só a parte exponencial interessa.

Passo 3

Aplicando ao problema:
  • Identificamos a frequência angular da sequência como
\omega_0=\frac{3\pi}{10}.
  • Calculamos a razão com 2\pi:
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{\tfrac{3\pi}{10}}{2\pi}=\frac{3}{20}.
  • A fração \dfrac{3}{20} já está em termos inteiros e irredutível (máximo divisor comum entre 3 e 20 é 1). Assim \dfrac{\omega_0}{2\pi}=\dfrac{p}{q} com p=3 e q=20.
  • Pelo raciocínio do passo anterior, existe um período inteiro e o menor período positivo (fundamental) é
N=q=20.
  • Verificação direta: verificar que e^{j\omega_0 N}=1:
e^{j\omega_0\cdot 20}=e^{j\frac{3\pi}{10}\cdot 20}=e^{j6\pi}=e^{j2\pi\cdot 3}=1,
portanto funciona e não existe N menor que 20 que satisfaça isso porque \gcd(3,20)=1.

Passo 4

Interpretação final e dica para prova:
  • Conclusão prática: sim, a sequência é periódica porque \dfrac{\omega_0}{2\pi} é racional.
  • Dica rápida para usar na prova: sempre calcule \dfrac{\omega_0}{2\pi} e reduza a fração; o denominador reduzido é o período fundamental. Lembre-se que a amplitude não importa para essa verificação.
  • Um exemplo extra para fixar: se \omega_0=\pi/2 então \dfrac{\omega_0}{2\pi}=\dfrac{1}{4} e o período fundamental seria N=4.

Resposta

Periódica
N=20

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