Let x and y be sequences that are related by y(n)=x(a n-b), where a and b are integers and a \geq 1.
Show that y can be obtained by time shifting x by b and then downsampling the resulting sequence by a factor of a.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre duas sequências: y(n)=x(a n - b),
onde a e b são inteiros e a\ge 1. A tarefa é mostrar — de forma construtiva — que y pode ser obtida primeiro deslocando no tempo a sequência x por b unidades e, depois, realizando um downsampling por fator a. Vou listar claramente o que foi dado:
  • A sequência original é x.
  • A sequência resultante é y definida por \;y(n)=x(a n - b).
  • Os parâmetros são inteiros: a\ge 1 e b\in\mathbb{Z}.
    O que se pede: demonstrar que há duas operações (shift por b e downsample por a) executadas nessa ordem que produzem exatamente \;y(n)=x(a n - b).

Passo 2

Definir claramente o deslocamento (time shift). Para um inteiro m, o deslocamento de x por m é a sequência
T_m\{x\}(n)=x(n-m).
Explicação didática: isso significa que cada amostra de x é movida para a direita se m>0 (atraso) e para a esquerda se m<0 (avanço). Exemplo simples: se x(n)=\{x(0),x(1),x(2),\dots\}, então T_1\{x\}(n)=x(n-1) resulta em \{x(-1),x(0),x(1),\dots\} — em provas normalmente assumimos índice inteiro ilimitado ou valores nulos fora da faixa se for o caso.

Passo 3

Definir claramente o downsampling (subamostragem) por um fator inteiro a\ge 1. O operador de downsampling é
D_a\{x\}(n)=x(a n).
Explicação didática: isso pega apenas as amostras de x cujos índices são múltiplos de a. Em termos práticos, mantêm-se as amostras x(0),x(a),x(2a),\dots e descarta-se as demais. Exemplo: se a=2, então D_2\{x\}(0)=x(0), D_2\{x\}(1)=x(2), D_2\{x\}(2)=x(4), etc.

Passo 4

Aplicar as duas operações na ordem indicada (primeiro shift por b, depois downsampling por a). Primeiro, defina a sequência deslocada:
x_{\text{sh}}(n)=T_b\{x\}(n)=x(n-b).
Agora aplique o downsampling por a sobre essa sequência deslocada:
D_a\{x_{\text{sh}}\}(n)=x_{\text{sh}}(a n).
Substituindo a definição de x_{\text{sh}} obtemos
D_a\{x_{\text{sh}}\}(n)=x(a n - b).
Mas a expressão à direita é exatamente y(n) dada no enunciado. Portanto
y(n)=D_a\{T_b\{x\}\}(n).

Passo 5

Interpretação e observações práticas. A equação do Passo 4 mostra construtivamente que, para cada n, primeiro se desloca x por b e depois se pega a amostra de índice a n da sequência deslocada — isto é, y é o resultado de aplicar o shift seguido do downsampling. Em notação compacta de operadores:
y = D_a\,T_b\{x\}.
Observação importante: a ordem importa. Se se fizesse primeiro downsample e depois shift, obter-se-ia
T_b\{D_a\{x\}\}(n)=D_a\{x\}(n-b)=x(a(n-b))=x(a n - a b),
que em geral difere de x(a n - b), a menos que b seja múltiplo de a. Exemplo numérico rápido: tome a=2, b=1 e x(n)=n. Então y(n)=x(2n-1)=2n-1. Se primeiro downsample e depois shift, obtém-se x(2(n-1))=2n-2, que não é igual a 2n-1.

Passo 6

Conclusão direta e incentivo: mostramos passo a passo, com definições e substituições, que \;y(n)=x(an-b) é exatamente o resultado de deslocar x por b e depois subamostrar por a. Se quiser, posso montar um pequeno exemplo numérico com valores concretos de x, a e b para você ver as amostras uma a uma — isso ajuda a fixar o procedimento na cabeça antes da prova. Força aí, você consegue!

Resposta

y(n)=D_a\{T_b\{x\}\}(n)=\big(T_b\{x\}\big)(a n)=x(a n - b).

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