Let
and
be sequences that are related by
, where
and
are integers and
.
Show that
can be obtained by time shifting
by
and then downsampling the resulting sequence by a factor of
.
Show that
Passo 1
O enunciado dá a relação entre duas sequências:
onde
e
são inteiros e
. A tarefa é mostrar — de forma construtiva — que
pode ser obtida primeiro deslocando no tempo a sequência
por
unidades e, depois, realizando um downsampling por fator
. Vou listar claramente o que foi dado:
- A sequência original é
. - A sequência resultante é
definida por . - Os parâmetros são inteiros:
e .
O que se pede: demonstrar que há duas operações (shift pore downsample por ) executadas nessa ordem que produzem exatamente .
Passo 2
Definir claramente o deslocamento (time shift). Para um inteiro
, o deslocamento de
por
é a sequência
Explicação didática: isso significa que cada amostra de
é movida para a direita se
(atraso) e para a esquerda se
(avanço). Exemplo simples: se
, então
resulta em
— em provas normalmente assumimos índice inteiro ilimitado ou valores nulos fora da faixa se for o caso.
Passo 3
Definir claramente o downsampling (subamostragem) por um fator inteiro
. O operador de downsampling é
Explicação didática: isso pega apenas as amostras de
cujos índices são múltiplos de
. Em termos práticos, mantêm-se as amostras
e descarta-se as demais. Exemplo: se
, então
,
,
, etc.
Passo 4
Aplicar as duas operações na ordem indicada (primeiro shift por
, depois downsampling por
). Primeiro, defina a sequência deslocada:
Agora aplique o downsampling por
sobre essa sequência deslocada:
Substituindo a definição de
obtemos
Mas a expressão à direita é exatamente
dada no enunciado. Portanto
Passo 5
Interpretação e observações práticas. A equação do Passo 4 mostra construtivamente que, para cada
, primeiro se desloca
por
e depois se pega a amostra de índice
da sequência deslocada — isto é,
é o resultado de aplicar o shift seguido do downsampling. Em notação compacta de operadores:
Observação importante: a ordem importa. Se se fizesse primeiro downsample e depois shift, obter-se-ia
que em geral difere de
, a menos que
seja múltiplo de
. Exemplo numérico rápido: tome
,
e
. Então
. Se primeiro downsample e depois shift, obtém-se
, que não é igual a
.
Passo 6
Conclusão direta e incentivo: mostramos passo a passo, com definições e substituições, que
é exatamente o resultado de deslocar
por
e depois subamostrar por
. Se quiser, posso montar um pequeno exemplo numérico com valores concretos de
,
e
para você ver as amostras uma a uma — isso ajuda a fixar o procedimento na cabeça antes da prova. Força aí, você consegue!