Determine if each sequence
given below is periodic, and if it is, find its fundamental period
.
;
Passo 1
O enunciado dá a sequência discreta
e pede para determinar se essa sequência é periódica. Se for periódica, encontrar o período fundamental
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A amplitude é
(não afeta periodicidade). - A frequência angular discreta é
(radianos por amostra). - A incógnita que precisamos decidir é: existe algum inteiro positivo
tal que para todo ? Se sim, qual é o menor (o período fundamental)?
Passo 2
Regra geral (explicada passo a passo): para uma sequência da forma
com
constante complexa e
real, a condição de periodicidade discreta é que exista um inteiro positivo
tal que
Substituindo:
A igualdade
ocorre exatamente quando
para algum inteiro
. Portanto a condição prática é:
ou seja,
deve ser um número racional. Se essa fração puder ser escrita em termos de inteiros com denominador mínimo
, então esse
é o período fundamental.
Explicando as variáveis na fórmula:
é a frequência angular dada (aqui
),
é o período inteiro que procuramos, e
é um inteiro qualquer que conta quantos múltiplos de
cabem em
.
Passo 3
Aplicando a condição ao caso dado, com
. A condição
vira
Isolando
,
Para que a sequência seja periódica precisamos de algum inteiro
tal que
definido acima seja um inteiro positivo. Ou seja, deve existir inteiros
e
com
Passo 4
Argumento chave (simples e rigoroso):
é um número irracional. Se existissem inteiros
e
satisfazendo
então isolando
teríamos
ou seja,
seria uma razão de inteiros (racional). Isso contradiz o fato conhecido de que
é irracional. A única outra opção seria
, mas
dá
, que não é um período positivo. Portanto não existe nenhum inteiro positivo
que satisfaça a condição de periodicidade.
Conclusão lógica: como não existe
com
, a sequência não é periódica.
Passo 5
Comentário prático para a prova (dica amiga): sempre teste se
é racional. Se a frequência
for um número racional múltiplo de
(por exemplo
dá período
), a sequência pode ser periódica; se
for um número que envolve
de forma que
seja irracional (como aqui,
), então a sequência não é periódica. Isso economiza tempo na prova.
Resposta
A sequência não é periódica.