Determine if each sequence x given below is periodic, and if it is, find its fundamental period N.
x(n)=2 e^{j(3 / 10) n};

Passo 1

O enunciado dá a sequência discreta
x(n)=2\,e^{j\left(\tfrac{3}{10}\right)n}
e pede para determinar se essa sequência é periódica. Se for periódica, encontrar o período fundamental N.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A amplitude é 2 (não afeta periodicidade).
  • A frequência angular discreta é \omega=\tfrac{3}{10} (radianos por amostra).
  • A incógnita que precisamos decidir é: existe algum inteiro positivo N tal que x(n+N)=x(n) para todo n? Se sim, qual é o menor N>0 (o período fundamental)?

Passo 2

Regra geral (explicada passo a passo): para uma sequência da forma
x(n)=A\,e^{j\omega n},
com A constante complexa e \omega real, a condição de periodicidade discreta é que exista um inteiro positivo N tal que
x(n+N)=x(n)\quad\text{para todo }n.
Substituindo:
A\,e^{j\omega (n+N)}=A\,e^{j\omega n}\quad\Rightarrow\quad e^{j\omega N}=1.
A igualdade e^{j\omega N}=1 ocorre exatamente quando
\omega N = 2\pi k
para algum inteiro k. Portanto a condição prática é:
\frac{\omega}{2\pi}=\frac{k}{N},
ou seja, \dfrac{\omega}{2\pi} deve ser um número racional. Se essa fração puder ser escrita em termos de inteiros com denominador mínimo N, então esse N é o período fundamental.
Explicando as variáveis na fórmula: \omega é a frequência angular dada (aqui \tfrac{3}{10}), N é o período inteiro que procuramos, e k é um inteiro qualquer que conta quantos múltiplos de 2\pi cabem em \omega N.

Passo 3

Aplicando a condição ao caso dado, com \omega=\tfrac{3}{10}. A condição \omega N=2\pi k vira
\left(\tfrac{3}{10}\right)N = 2\pi k.
Isolando N,
N = \frac{2\pi k}{3/10} = \frac{20\pi}{3}\,k.
Para que a sequência seja periódica precisamos de algum inteiro k tal que N definido acima seja um inteiro positivo. Ou seja, deve existir inteiros k e N com
N=\frac{20\pi}{3}k\in\mathbb{Z}_{>0}.

Passo 4

Argumento chave (simples e rigoroso): \pi é um número irracional. Se existissem inteiros k e N>0 satisfazendo
N=\frac{20\pi}{3}k,
então isolando \pi teríamos
\pi=\frac{3N}{20k},
ou seja, \pi seria uma razão de inteiros (racional). Isso contradiz o fato conhecido de que \pi é irracional. A única outra opção seria k=0, mas k=0 N=0, que não é um período positivo. Portanto não existe nenhum inteiro positivo N que satisfaça a condição de periodicidade.
Conclusão lógica: como não existe N\in\mathbb{Z}_{>0} com \omega N=2\pi k, a sequência não é periódica.

Passo 5

Comentário prático para a prova (dica amiga): sempre teste se \dfrac{\omega}{2\pi} é racional. Se a frequência \omega for um número racional múltiplo de \pi (por exemplo \omega=\tfrac{\pi}{2} dá período N=4), a sequência pode ser periódica; se \omega for um número que envolve \pi de forma que \dfrac{\omega}{2\pi} seja irracional (como aqui, \omega=\tfrac{3}{10}), então a sequência não é periódica. Isso economiza tempo na prova.

Resposta

A sequência não é periódica.

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