Let
and
be sequences that are related by
, where
and
are integers and
.
Show that, if
is an integer,
can be obtained by downsampling
by a factor of
and then time shifting the resulting sequence by
.
Show that, if
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- São dadas duas sequências
e relacionadas por
onde
e
são inteiros e
.
- A tarefa é mostrar que, se
é um inteiro, então pode ser obtida pegando , fazendo downsampling por fator (ou seja, ficando com cada -ésimo elemento) e depois deslocando no tempo a sequência resultante por .
Passo 2
Definição clara de downsampling por
:
- Downsampling de
por um fator significa construir a sequência definida por
para todo inteiro
.
- Interpretação:
tem os elementos de que estão nos índices múltiplos de (ou seja, pega ).
Passo 3
Definição clara de deslocamento (time shift):
- Deslocar uma sequência
no tempo para a direita por unidades (com inteiro) significa formar a sequência . - Observação importante: os índices das sequências são inteiros, então só faz sentido deslocar por um inteiro
se quisermos permanecer no domínio inteiro sem ambiguidade.
Passo 4
Introdução da variável inteira
igual a
e uso da hipótese:
- Suponha que
é um inteiro; defina
- Como
, substitui-se isso na expressão de :
Passo 5
Fatoração e identificação com downsampling + deslocamento:
- Fatore
em :
- Pela definição de downsampling da Passo 2,
é exatamente . Portanto
- Interpretação final: primeiro se constrói a sequência downsampled
(pegar cada -ésimo valor de ) e depois se desloca essa sequência para a direita por amostras, obtendo .
Passo 6
Comentário extra para intuição (um exemplo numérico rápido):
- Tome
, . Então . - O downsample é
. - Então
, ou seja, a sequência downsampled é deslocada 2 passos para obter . - Isso confirma concretamente o resultado e mostra por que é necessário que
seja inteiro (para que o deslocamento esteja em número inteiro de amostras).
Resposta
Seja
e
. Então