Let x and y be sequences that are related by y(n)=x(a n-b), where a and b are integers and a \geq 1.
Show that, if \frac{b}{a} is an integer, y can be obtained by downsampling x by a factor of a and then time shifting the resulting sequence by \frac{b}{a}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • São dadas duas sequências x e y relacionadas por
y(n)=x(a n - b),
onde a e b são inteiros e a\ge 1.
  • A tarefa é mostrar que, se \dfrac{b}{a} é um inteiro, então y pode ser obtida pegando x, fazendo downsampling por fator a (ou seja, ficando com cada a-ésimo elemento) e depois deslocando no tempo a sequência resultante por \dfrac{b}{a}.

Passo 2

Definição clara de downsampling por a:
  • Downsampling de x por um fator a significa construir a sequência x_{\downarrow a} definida por
x_{\downarrow a}(n) = x(a n),
para todo inteiro n.
  • Interpretação: x_{\downarrow a} tem os elementos de x que estão nos índices múltiplos de a (ou seja, pega x(0),x(a),x(2a),\dots).

Passo 3

Definição clara de deslocamento (time shift):
  • Deslocar uma sequência u(n) no tempo para a direita por m unidades (com m inteiro) significa formar a sequência u(n-m).
  • Observação importante: os índices das sequências são inteiros, então só faz sentido deslocar por um inteiro m se quisermos permanecer no domínio inteiro sem ambiguidade.

Passo 4

Introdução da variável inteira m igual a \dfrac{b}{a} e uso da hipótese:
  • Suponha que \dfrac{b}{a} é um inteiro; defina
m = \frac{b}{a}\in\mathbb{Z}.
  • Como b = a m, substitui-se isso na expressão de y:
y(n)=x(a n - b)=x\bigl(a n - a m\bigr).

Passo 5

Fatoração e identificação com downsampling + deslocamento:
  • Fatore a em a n - a m:
x\bigl(a n - a m\bigr)=x\bigl(a(n-m)\bigr).
  • Pela definição de downsampling da Passo 2, x(a(n-m)) é exatamente x_{\downarrow a}(n-m). Portanto
y(n)=x_{\downarrow a}(n-m).
  • Interpretação final: primeiro se constrói a sequência downsampled x_{\downarrow a}(n)=x(a n) (pegar cada a-ésimo valor de x) e depois se desloca essa sequência para a direita por m=\dfrac{b}{a} amostras, obtendo y.

Passo 6

Comentário extra para intuição (um exemplo numérico rápido):
  • Tome a=3, b=6. Então m=\dfrac{b}{a}=2.
  • O downsample é x_{\downarrow 3}(n)=x(3n).
  • Então y(n)=x(3n-6)=x(3(n-2))=x_{\downarrow 3}(n-2), ou seja, a sequência downsampled é deslocada 2 passos para obter y.
  • Isso confirma concretamente o resultado e mostra por que é necessário que \dfrac{b}{a} seja inteiro (para que o deslocamento esteja em número inteiro de amostras).

Resposta

Seja m=\dfrac{b}{a}\in\mathbb{Z} e x_{\downarrow a}(n)=x(a n). Então
y(n)=x(a n - b)=x\bigl(a(n-m)\bigr)=x_{\downarrow a}(n-m).

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