Determine if each sequence
given below is periodic, and if it is, find its fundamental period
.
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência discreta
O que é pedido: determinar se
é periódica e, se for, encontrar o período fundamental
.
Informações relevantes (extraídas diretamente do enunciado):
Informações relevantes (extraídas diretamente do enunciado):
- Frequências angulares das três componentes são
, e . - Cada componente é uma função trigonométrica discreta (cos/sen) de
.
Passo 2
Regra chave (critério de periodicidade em tempo discreto). Uma sequência do tipo
ou
é periódica em
se existir um inteiro positivo
e inteiro
tal que
Aqui:
-
é a frequência angular da componente (em radianos por amostra). -
é um período inteiro (número de amostras) que faz a fase aumentar em um múltiplo inteiro de , retornando assim ao mesmo valor da função.
O menorque satisfaz essa igualdade para algum inteiro é o período fundamental da componente.
Passo 3
Aplicar o critério a cada componente para achar seu período fundamental.
Para
: exigir
. Logo
O menor
obtido com
é
. Checagem rápida:
. Não existe
inteiro menor que 1 positivo, portanto
é o período fundamental desta componente.
Para
: exigir
. Logo
O menor
é com
:
. Observação:
, então 10 não é período; 20 é o menor que retorna o mesmo sinal, logo
.
Para
: exigir
. Logo
O menor
é
, então
. Novamente,
, então 4 não funciona; 8 é o menor que funciona.
Resumo dos períodos fundamentais individuais:
Passo 4
Período da soma: uma soma de sequências periódicas com períodos inteiros
é periódica se e somente se existe um inteiro positivo
que seja múltiplo comum de todos eles; o menor tal
(o menor múltiplo comum) é o período fundamental da soma. Portanto precisamos calcular o mínimo múltiplo comum (MMC, ou LCM) de
.
Passo 5
Calcular o MMC de
por fatoração:
-
. -
. -
.
Para o MMC tomar a maior potência de cada primo presente:
- potência máxima de
é (vinda de ), - potência máxima de
é (vinda de ), - potência máxima de
é (vinda de ).
Assim
Passo 6
Conclusão e checagem final:
é múltiplo de
e
, logo para cada componente vale
com inteiros
, então cada componente volta ao mesmo valor após
amostras e a soma também. Verificou-se que nenhum dos períodos individuais era divisor próprio menor que os indicados, portanto não existe período fundamental menor que
que seja múltiplo de todos os
. Logo
é de fato o período fundamental da soma.
Resposta
A sequência é periódica e o período fundamental é
.