Determine if each sequence x given below is periodic, and if it is, find its fundamental period N.
x(n)=\cos \left(\frac{\pi}{9} n\right)+\sin \left(\frac{\pi}{10} n\right)+\cos \left(\frac{\pi}{4} n\right).

Passo 1

O enunciado dá a sequência discreta
x(n)=\cos\!\left(\frac{\pi}{9}n\right)+\sin\!\left(\frac{\pi}{10}n\right)+\cos\!\left(\frac{\pi}{4}n\right).
O que é pedido: determinar se x(n) é periódica e, se for, encontrar o período fundamental N.
Informações relevantes (extraídas diretamente do enunciado):
  • Frequências angulares das três componentes são \omega_1=\dfrac{\pi}{9}, \omega_2=\dfrac{\pi}{10} e \omega_3=\dfrac{\pi}{4}.
  • Cada componente é uma função trigonométrica discreta (cos/sen) de n.

Passo 2

Regra chave (critério de periodicidade em tempo discreto). Uma sequência do tipo \cos(\omega n) ou \sin(\omega n) é periódica em n se existir um inteiro positivo N e inteiro k tal que
\omega N = 2\pi k.
Aqui:
  • \omega é a frequência angular da componente (em radianos por amostra).
  • N é um período inteiro (número de amostras) que faz a fase aumentar em um múltiplo inteiro de 2\pi, retornando assim ao mesmo valor da função.
    O menor N>0 que satisfaz essa igualdade para algum inteiro k é o período fundamental da componente.

Passo 3

Aplicar o critério a cada componente para achar seu período fundamental.
Para \cos\!\left(\dfrac{\pi}{9}n\right): exigir \dfrac{\pi}{9}N=2\pi k. Logo
N=\frac{2\pi k}{\pi/9}=18k.
O menor N>0 obtido com k=1 é N_1=18. Checagem rápida: \cos\!\big(\tfrac{\pi}{9}(n+18)\big)=\cos\!\big(\tfrac{\pi}{9}n+2\pi\big)=\cos\!\big(\tfrac{\pi}{9}n\big). Não existe k inteiro menor que 1 positivo, portanto N_1=18 é o período fundamental desta componente.
Para \sin\!\left(\dfrac{\pi}{10}n\right): exigir \dfrac{\pi}{10}N=2\pi k. Logo
N=\frac{2\pi k}{\pi/10}=20k.
O menor N>0 é com k=1: N_2=20. Observação: \sin\!\big(\tfrac{\pi}{10}(n+10)\big)=\sin\!\big(\tfrac{\pi}{10}n+\pi\big)=-\sin\!\big(\tfrac{\pi}{10}n\big), então 10 não é período; 20 é o menor que retorna o mesmo sinal, logo N_2=20.
Para \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}n\right): exigir \dfrac{\pi}{4}N=2\pi k. Logo
N=\frac{2\pi k}{\pi/4}=8k.
O menor N>0 é k=1, então N_3=8. Novamente, \cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}(n+4)\big)=\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}n+\pi\big)=-\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}n\big), então 4 não funciona; 8 é o menor que funciona.
Resumo dos períodos fundamentais individuais:
N_1=18,\qquad N_2=20,\qquad N_3=8.

Passo 4

Período da soma: uma soma de sequências periódicas com períodos inteiros N_1,N_2,\dots é periódica se e somente se existe um inteiro positivo N que seja múltiplo comum de todos eles; o menor tal N (o menor múltiplo comum) é o período fundamental da soma. Portanto precisamos calcular o mínimo múltiplo comum (MMC, ou LCM) de 18,20,8.

Passo 5

Calcular o MMC de 18,20,8 por fatoração:
  • 18=2\cdot 3^2.
  • 20=2^2\cdot 5.
  • 8=2^3.
Para o MMC tomar a maior potência de cada primo presente:
  • potência máxima de 2 é 2^3 (vinda de 8),
  • potência máxima de 3 é 3^2 (vinda de 18),
  • potência máxima de 5 é 5 (vinda de 20).
Assim
\mathrm{LCM}(18,20,8)=2^3\cdot 3^2\cdot 5=8\cdot 9\cdot 5=360.

Passo 6

Conclusão e checagem final: N=360 é múltiplo de 18,20 e 8, logo para cada componente vale
\omega_i\cdot 360 = 2\pi k_i
com inteiros k_i, então cada componente volta ao mesmo valor após 360 amostras e a soma também. Verificou-se que nenhum dos períodos individuais era divisor próprio menor que os indicados, portanto não existe período fundamental menor que 360 que seja múltiplo de todos os N_i. Logo 360 é de fato o período fundamental da soma.

Resposta

A sequência é periódica e o período fundamental é N=360.

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