determine uma EDO y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0 que admita as funções y1(t) e y2(t) como soluções fundamentais.
y1(t)=t^2 e y2(t)=t^3, para t>0.

Passo 1

O enunciado nos dá duas soluções fundamentais
y1(t)=t^2, y2(t)=t^3, t>0
para uma equação da forma
y''+p(t),y'+q(t),y=0
Precisamos achar as funções p(t) e q(t). Vamos usar o wronskiano para obter p(t) e depois substituir uma das soluções para achar q(t).

Passo 2

Calculemos o wronskiano
W(t)=det y1(t) & y2(t)[6pt] y1'(t) & y2'(t) = y1,y2'-y2,y1'
Como y1'(t)=2t e y2'(t)=3t^2, temos
W(t)=t^2cdot(3t^2)-t^3cdot(2t)=3t^4-2t^4=t^4 ]

Passo 3

Para uma equação linear de segunda ordem, vale
p(t)=-W'(t)W(t)
Como W'(t)=4t^3, obtemos
p(t)=-4t^3t^4=-4t

Passo 4

Agora substituímos y1(t)=t^2 na equação
y''+p(t),y'+q(t),y=0
para achar q(t). Como y1''(t)=2 e y1'(t)=2t, e p(t)=-4/t, temos
2+l(-4tr)!(2t)+q(t),t^2=0 Longrightarrow 2-8+q(t),t^2=0 Longrightarrow q(t)=6t^2

Passo 5

Reunindo p(t) e q(t), a equação buscada é
y''-4t,y'+6t^2,y=0

Resposta

A equação diferencial que admite t^2 e t^3 como soluções fundamentais é
boxedy''-4t,y'+6t^2,y=0

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