Determine sem efeturar nenhum cálculo, se um sistema linear com a matriz completa dada tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Justifique suas respostas. Obs.: Consedere a última coluna que está do lado direito, como a igualdade do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar, sem fazer cálculos, se um sistema linear representado pela matriz completa tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. O conteúdo envolvido aqui é o de sistemas lineares e matrizes. Para resolver, vamos analisar a estrutura da matriz e entender o que isso nos diz sobre as soluções do sistema.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que a matriz dada representa um sistema de equações lineares. Cada linha da matriz corresponde a uma equação, e cada coluna (exceto a última) corresponde a uma variável. A última coluna representa os termos constantes das equações.
Agora, para saber se o sistema tem uma única solução, infinitas ou nenhuma, vamos analisar o número de equações e o número de variáveis, além de verificar se as equações são independentes.
Aqui, temos 3 equações e 3 variáveis (x, y, z). Isso geralmente sugere que poderemos ter uma solução única, mas precisamos verificar se as equações realmente se relacionam de forma independente.
Passo 4
Observando a matriz, percebemos que em cada equação há pelo menos uma variável com coeficiente diferente de zero. Além disso, não há equações que se contradizem diretamente (por exemplo, uma equação como 0x + 0y + 0z = 5, que seria impossível).
Isso indica que as linhas da matriz são linearmente independentes, ou seja, nenhuma equação pode ser obtida a partir de combinações das outras.
Passo 5
Segundo a regra básica dos sistemas lineares, se o número de equações independentes for igual ao número de variáveis, o sistema possui uma solução única. Como temos 3 equações independentes e 3 variáveis, concluímos que o sistema tem uma única solução.