Seja
A=[lll 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 1 & 0 & 4 ]
Para cada autovalor A, encontre o posto da matriz lambda I-A.

Passo 1

O enunciado pede, para cada autovalor lambda da matriz
A = 4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 1 & 0 & 4 ,
o posto da matriz lambda I - A. Vamos usar a definição de posto (número de linhas independentes) e calcular o polinômio característico para encontrar os autovalores e suas multiplicidades.

Passo 2

Calcular o polinômio característico det(A - lambda I) por expansão de Laplace na primeira linha:
det(A - lambda I) = (4-lambda)det3-lambda & 20 & 4-lambda -0cdotdet(cdots) +1cdotdet2 & 3-lambda1 & 0
Isso dá
det(A - lambda I) =(4-lambda)l((3-lambda)(4-lambda)r) -l((2cdot0)-( (3-lambda)cdot1 )r) =(4-lambda)^2(3-lambda)-( - (3-lambda)) =(3-lambda)l((4-lambda)^2-1r)
Fatorando,
det(A - lambda I)=(3-lambda)^2(5-lambda)

Passo 3

Do polinômio (3-lambda)^2(5-lambda), os autovalores são
lambda1=5 (mult. algébrica 1) e
lambda2=3 (mult. algébrica 2).

Passo 4

Para lambda=5, formamos
5I - A = 5-4 & 0 & -1 -2 & 5-3 & -2 -1 & 0 & 5-4 = 1 & 0 & -1 -2 & 2 & -2 -1 & 0 & 1
Aplicando eliminação de linhas, por exemplo:
  • L2 L2+2L1 torna L2=(0,2, -4).
  • L3 L3+L1 torna L3=(0,0,0).
Restam duas linhas não nulas e independentes, logo
rank(5I-A)=2

Passo 5

Para lambda=3, formamos
3I - A = 3-4 & 0 & -1 -2 & 3-3 & -2 -1 & 0 & 3-4 = -1 & 0 & -1 -2 & 0 & -2 -1 & 0 & -1
Note que L2=2L1 e L3=L1, portanto só há uma linha independente, de modo que
rank(3I-A)=1

Resposta

Para lambda=5: posto =2.
Para lambda=3: posto =1.

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