Determine sem efeturar nenhum cálculo, se um sistema linear com a matriz completa dada tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Justifique suas respostas. Obs.: Consedere a última coluna que está do lado direito, como a igualdade do sistema.
[ccccc1 & 2 & 3 & 4 & 0 5 & 6 & 7 & 8 & 0 9 & 10 & 11 & 12 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir sem fazer cálculos se um sistema linear com a matriz dada tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. A gente vai precisar entender sobre sistemas lineares e o conceito de soluções possíveis com base na matriz ampliada.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz que foi fornecida:
1 & 2 & 3 & 4 & 0 5 & 6 & 7 & 8 & 0 9 & 10 & 11 & 12 & 0
Aqui, as primeiras quatro colunas representam os coeficientes das variáveis, e a última coluna (toda composta por zeros) representa as constantes do sistema, ou seja, é um sistema homogêneo.

Passo 3

Em sistemas lineares homogêneos (onde todas as constantes são zero), sempre existe pelo menos a solução trivial, que é quando todas as variáveis são iguais a zero. Agora, para saber se existem mais soluções além dessa, precisamos analisar o número de variáveis e o posto da matriz dos coeficientes.

Passo 4

Temos 4 variáveis e 3 equações. O posto da matriz dos coeficientes é no máximo 3 (já que há 3 linhas). Se o posto for menor que o número de variáveis, isso significa que as equações não são todas independentes, e então teremos infinitas soluções.

Passo 5

Como a matriz tem 3 equações e 4 variáveis, o posto dela é necessariamente menor que 4. Portanto, o sistema não tem posto completo, e isso nos indica que existem infinitas soluções.

Resposta

O sistema linear dado tem infinitas soluções.

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