Nos Exercícios 7-11, use o método do Exercicio 6 para determinar se a matriz é diagonalizável.
[rrrr2 & -1 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & -1 0 & 0 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para usar o método do Exercício 6 e verificar se a matriz
A = 2 & -1 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & -1 0 & 0 & 3 & 2 0 & 0 & 0 & 3
é diagonalizável. O conteúdo é autovalores e autovetores: para diagonalizar, cada autovalor deve ter multiplicidade geométrica igual à sua multiplicidade algébrica.

Passo 2

Como A é triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal:
2,2,3,3
Portanto o autovalor lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2 e o autovalor lambda=3 também tem multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Calculamos o espaço próprio de
logo o sistema é
Da última equação vem e . A variável livre é , logo

Passo 4

Calculamos o espaço próprio de
o que dá o sistema
Da terceira equação vem e . A variável livre é , logo

Passo 5

Para ser diagonalizável, cada multiplicidade geométrica deve igualar a algébrica. Aqui em lambda=2 temos 1<2 e em lambda=3 temos 1<2. Portanto falta número suficiente de autovetores.

Resposta

A matriz não é diagonalizável.

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