Determine os eixos e momentos principais de inércia de uma placa homogênea retangular, de lados a e b, em relação a um dos vértices.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é achar os eixos principais e os momentos principais de inércia de uma placa retangular homogênea (massa total Ixx&IxyIxy&Iyy), de lados e , tomando como ponto de referência um dos vértices.
Conteúdo: momento de inércia de corpos planos, produto de inércia e diagonalização do tensor de inércia.
O que vamos precisar:
  1. Definir um sistema de eixos e no plano da placa, com a origem no vértice pedido.
  2. Calcular por integrais bidimensionais.
  3. Montar o tensor de inércia e encontrar seus autovalores (momentos principais) e autovetores (direção dos eixos principais).

Passo 2

Definindo: eixo sigma=Mab ao longo do lado de comprimento Ixx=integral dupla y^2,dm , Iyy=integral dupla x^2,dm , Ixy=integral dupla x,y,dm , eixo ao longo do lado de comprimento , ambos partindo do vértice.
A densidade superficial é
Então, por definição:
com .
Calculemos um a um:

Passo 3

O tensor de inércia no plano é
[
\mathbf{I}=
I= Ixx&Ixy[6pt] Ixy&Iyy = M b^23&M a b4[4pt] M a b4&M a^23

A&BB&C.
]
Os momentos principais são os autovalores dessa matriz. A fórmula geral para autovalores lambda=A+C2,pm, raizl(A-C2r)^2 + B^2 de I1,2 =Ixx+Iyy2pm raizl(Ixx-Iyy2r)^2+Ixy^2 é
tan(2phi) =2,IxyIxx-Iyy
Aqui . Logo
E o ângulo que os eixos principais fazem com o eixo satisfaz

Resposta

Momentos principais:
I1,2 =M6(a^2+b^2);pm; raizl(tfracM6(b^2 - a^2)r)^2 ;+;l(tfracM,a,b4r)^2
Direção dos eixos principais (ângulo phi =tfrac12arctan!l(tfrac2,IxyIxx-Iyyr) =tfrac12arctan!l(tfrac2,(Mab/4)(M b^2/3)-(M a^2/3)r) =tfrac12arctan!l(tfrac3,a,b2,(b^2-a^2)r) em relação a ):

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