Determine as geodésicas de um cone com ângulo de abertura 2 alpha. Descreva a forma da curva geodésica no caso em que seu ponto inicial é o vértice do cone, tomado como origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar as geodésicas de um cone com ângulo de abertura 2alpha. Geodésicas são, basicamente, os caminhos mais curtos entre dois pontos em uma superfície. Aqui, vamos focar em como essas curvas se comportam quando começam no vértice do cone, que é o ponto central de onde o cone “se forma”. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria diferencial e como desdobrar o cone para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um cone com ângulo de abertura 2alpha. Imagine um cone de sorvete: o ângulo de abertura é o ângulo entre duas geratrizes (as linhas que formam a superfície do cone) que se encontram no vértice. Esse ângulo determina quão “apertado” ou “largo” o cone é.

Passo 3

Agora, para encontrar as geodésicas nesse cone, uma técnica útil é “desdobrar” o cone em um plano. Quando fazemos isso, o cone se transforma em um setor circular (uma fatia de pizza) com um ângulo central que depende do ângulo de abertura do cone original. Esse processo facilita a visualização das geodésicas como linhas retas no setor desdobrado.

Passo 4

Uma vez que temos o setor desdobrado, uma geodésica no cone corresponde a uma linha reta nesse setor. Isso porque o caminho mais curto entre dois pontos em um plano é uma linha reta. Então, quando mapeamos essa linha reta de volta para o cone, ela se transforma em uma curva no formato do cone original.

Passo 5

No caso específico em que a geodésica começa no vértice do cone, ao desdobrar, isso corresponde a uma linha reta que parte do centro do setor (que representa o vértice). Quando voltamos ao formato do cone, essa linha reta se transforma em uma espiral que se afasta do vértice, enrolando-se ao redor do cone. Essa espiral é a geodésica que procuramos.

Resposta

As geodésicas de um cone com ângulo de abertura 2alpha que iniciam no vértice do cone são curvas espirais que partem do vértice e enrolam ao redor do cone de forma contínua. Essas espirais representam os caminhos mais curtos no cone iniciando do vértice.

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