Determine as geodésicas de um cone com ângulo de abertura
. Descreva a forma da curva geodésica no caso em que seu ponto inicial é o vértice do cone, tomado como origem do sistema de coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar as geodésicas de um cone com ângulo de abertura
. Geodésicas são, basicamente, os caminhos mais curtos entre dois pontos em uma superfície. Aqui, vamos focar em como essas curvas se comportam quando começam no vértice do cone, que é o ponto central de onde o cone “se forma”. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria diferencial e como desdobrar o cone para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um cone com ângulo de abertura
. Imagine um cone de sorvete: o ângulo de abertura é o ângulo entre duas geratrizes (as linhas que formam a superfície do cone) que se encontram no vértice. Esse ângulo determina quão “apertado” ou “largo” o cone é.
Passo 3
Agora, para encontrar as geodésicas nesse cone, uma técnica útil é “desdobrar” o cone em um plano. Quando fazemos isso, o cone se transforma em um setor circular (uma fatia de pizza) com um ângulo central que depende do ângulo de abertura do cone original. Esse processo facilita a visualização das geodésicas como linhas retas no setor desdobrado.
Passo 4
Uma vez que temos o setor desdobrado, uma geodésica no cone corresponde a uma linha reta nesse setor. Isso porque o caminho mais curto entre dois pontos em um plano é uma linha reta. Então, quando mapeamos essa linha reta de volta para o cone, ela se transforma em uma curva no formato do cone original.
Passo 5
No caso específico em que a geodésica começa no vértice do cone, ao desdobrar, isso corresponde a uma linha reta que parte do centro do setor (que representa o vértice). Quando voltamos ao formato do cone, essa linha reta se transforma em uma espiral que se afasta do vértice, enrolando-se ao redor do cone. Essa espiral é a geodésica que procuramos.
Resposta
As geodésicas de um cone com ângulo de abertura
que iniciam no vértice do cone são curvas espirais que partem do vértice e enrolam ao redor do cone de forma contínua. Essas espirais representam os caminhos mais curtos no cone iniciando do vértice.