Determine os elementos dos conjuntos X, Y e Z, tais que:
& X cap Y=2,4, & X cup Y=2,3,4,5 & X cap Z=2,3, X cup Z=1,2,3,4

Passo 1

O enunciado pede para achar três conjuntos X, Y e Z tais que
Xcap Y=2,4, Xcup Y=2,3,4,5,
Xcap Z=2,3, Xcup Z=1,2,3,4
O conteúdo envolvido é teoria de conjuntos: usar as propriedades de interseção e união para montar cada conjunto.

Passo 2

Da primeira dupla de condições ( Xcap Y=2,4 e Xcup Y=2,3,4,5) sabemos que:
  • X e Y contêm obrigatoriamente 2,4.
  • Os elementos extras 3 e 5 pertencem ao menos a um dos conjuntos para figurar na união.
  • Se um desses extras estivesse em ambos, apareceria na interseção, o que não ocorre. Logo cada um aparece em exatamente um conjunto.
    Assim as duas possibilidades iniciais para X são
X=2,4,3 ou X=2,4,5

Passo 3

Agora usemos Xcap Z=2,3. Isso exige que 3in X, pois está na interseção com Z. Portanto a única escolha compatível é
X=2,3,4
Feito isso, para que Xcup Y=2,3,4,5 e mantendo Xcap Y=2,4, o elemento 5 não pode estar em X (já vimos que X é 2,3,4), então deve estar em Y e não em X. Logo
Y=2,4,5

Passo 4

Por fim, da segunda dupla de condições ( Xcap Z=2,3 e Xcup Z=1,2,3,4) com X=2,3,4 temos:
  • Z deve conter 2,3.
  • Não pode conter 4, pois 4notin Xcap Z.
  • Para a união cobrir o elemento 1, temos 1in Z.
  • Nenhum outro elemento além de 1,2,3 pode entrar, senão surgiria fora da união dada.
    Assim
Z=1,2,3

Resposta

X=2,3,4, Y=2,4,5, Z=1,2,3.

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