Seja V o espaço vetorial dado por V=x in R mid x>0 cujas operações de adição oplus e multiplicação por esclares odot são assim definidas:
oplus: x oplus y=x y, forall x, y in V e odot: alpha odot x=x^alpha, forall alpha in R, forall x in R
Mostre que o conjunto 2 é uma base de V.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = xinRmid x>0
com as operações
xoplus y = xy, alphaodot x = x^alpha
Queremos mostrar que 2 é base de V. O conteúdo envolvido é teoria de espaço vetorial (definição de vetor nulo, combinação linear, geradores e independência linear).

Passo 2

Identificar o vetor zero em (V,oplus). O elemento neutro de oplus satisfaz
eoplus x = x Longrightarrow ecdot x = x,
logo e=1. Assim o “vetor zero” de V é 1.

Passo 3

Mostrar que 2 gera V. Dado xin V (isto é, x>0), queremos alpha tal que
alphaodot 2 = x Long<=ftrightarrow 2^alpha=x
Como a função tmapsto 2^t é bijetora de R em (0,infty), existe único
alpha = log2(x)
que satisfaz 2^alpha=x. Logo qualquer x é combinação escalar de 2.

Passo 4

Mostrar que 2 é linearmente independente. Suponha
alphaodot 2 = 1,
isto é,
2^alpha=1
Pela bijetividade de 2^t, concluímos alpha=0. Portanto não há outra relação linear não trivial.

Passo 5

Como 2 gera V e é linearmente independente, ela é uma base de V.

Resposta

O conjunto 2 é uma base de V.

Exercícios relacionados