Seja
o espaço vetorial dado por
cujas operações de adição
e multiplicação por esclares
são assim definidas:
Mostre que o conjunto
é uma base de
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
Queremos mostrar que
é base de
. O conteúdo envolvido é teoria de espaço vetorial (definição de vetor nulo, combinação linear, geradores e independência linear).
Passo 2
Identificar o vetor zero em
. O elemento neutro de
satisfaz
logo
. Assim o “vetor zero” de
é
.
Passo 3
Mostrar que
gera
. Dado
(isto é,
), queremos
tal que
Como a função
é bijetora de
em
, existe único
que satisfaz
. Logo qualquer
é combinação escalar de
.
Passo 4
Mostrar que
é linearmente independente. Suponha
isto é,
Pela bijetividade de
, concluímos
. Portanto não há outra relação linear não trivial.
Passo 5
Como
gera
e é linearmente independente, ela é uma base de
.
Resposta
O conjunto
é uma base de
.