Seja B=v1, v2, ldots, vn uma base para um espaço vetorial V e sejam v, w in V e alpha um escalar. Mostre que:
(a) [v+w]B=[v]B+[w]B
(b) [alpha v]B=alpha[v]B

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial V de dimensão n com base B=v1,v2,dots,vn e define o vetor coordenado de qualquer vin V relativo a essa base. O conteúdo é a prova de que o mapeamento
v;mapsto;[v]B
é linear, isto é, satisfaz
[v+w]B=[v]B+[w]B e [alpha v]B=alpha,[v]B
Para isso vamos usar a definição de coordenadas: se
v=x1v1+cdots+xnvn, w=y1v1+cdots+ynvn,
então
[v]B=(x1,dots,xn) e [w]B=(y1,dots,yn).

Passo 2

Prova de ,[v+w]B=[v]B+[w]B.
Somando os vetores expressos em coordenadas temos
v+w =(x1v1+cdots+xnvn) +(y1v1+cdots+ynvn) =(x1+y1)v1+cdots+(xn+yn)vn
Pelo modo de definir coordenadas,
[v+w]B=(,x1+y1,,dots,,xn+yn,) =(x1,dots,xn)+(y1,dots,yn) =[v]B+[w]B

Passo 3

Prova de ,[alpha v]B=alpha,[v]B.
Multiplicando v pelo escalar alpha em suas coordenadas,
alpha v =alpha,(x1v1+cdots+xnvn) =(alpha x1)v1+cdots+(alpha xn)vn
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[alpha v]B =(alpha x1,dots,alpha xn) =alpha,(x1,dots,xn) =alpha,[v]B

Resposta

(a) ,[v+w]B=[v]B+[w]B
(b) ,[alpha v]B=alpha,[v]B

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