Seja
uma base para um espaço vetorial
e sejam
e
um escalar. Mostre que:
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial
de dimensão
com base
e define o vetor coordenado de qualquer
relativo a essa base. O conteúdo é a prova de que o mapeamento
é linear, isto é, satisfaz
Para isso vamos usar a definição de coordenadas: se
então
e
.
Passo 2
Prova de
.
Somando os vetores expressos em coordenadas temos
Somando os vetores expressos em coordenadas temos
Pelo modo de definir coordenadas,
Passo 3
Prova de
.
Multiplicando pelo escalar
em suas coordenadas,
Multiplicando
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Resposta
(a)
(b)
(b)