Determine os elementos dos triângulos de velocidade, na entrada e na saída, de uma turbina radial com os seguintes dados:
rotação n=180 RPM

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar os elementos dos triângulos de velocidade, na entrada e na saída, de uma turbina radial”, e forneceu apenas a rotação n=180 RPM.\n
Informações explicitadas no enunciado:
n = 180\\ \text{RPM}.
Não há outros dados (raízes/raízes de entrada/saída, fluxo volumétrico, alturas de canal, ângulos de entrada/saída, etc.).

Passo 2

Por que isso é um problema (o que falta)? Vou ser direto: com apenas n não dá para calcular valores numéricos completos dos triângulos de velocidade. Para desenhar e quantificar os triângulos precisamos, pelo menos, conhecer algumas grandezas geométricas e de escoamento, por exemplo: raios na entrada e saída r_1 e r_2, vazão volumétrica Q (ou velocidade radial/méridional), alturas úteis das pás b_1 e b_2 (ou área de passagem), e/ou ângulos de entrada/saída do fluido relativos ao eixo \alpha_1, \alpha_2 ou ângulos das pás \beta_1, \beta_2. Sem isso só podemos dar a formulação geral e expressões em termos das incógnitas. Vou mostrar tudo passo a passo para você aplicar quando tiver esses dados — e assim na prova você faz rapidinho.

Passo 3

Conceitos e convenções (aula rápida, sem pular etapas). Em turbomáquinas usamos três velocidades vetoriais no triângulo:
  • velocidade absoluta do fluido: V (vetor que o fluido tem em relação ao solo);
  • velocidade periférica (velocidade da pá): U (tangencial, igual a velocidade do ponto da roda);
  • velocidade relativa do fluido em relação à pá: W (vetor que o fluido tem visto pela pá).
A relação vetorial fundamental é
V = W + U.
Isto significa que, desenhando vetores com a cauda em comum, o vetor W somado ao vetor U dá o vetor V. Em componentes (tomando direção tangencial ou circumferencial com subíndice u, e direção radial/méridional com subíndice r):
  • V_r = W_r porque U tem apenas componente tangencial;
  • V_u = W_u + U (atenção ao sentido: se adotarmos sinal positivo no sentido do movimento da pá; usar sinais consistentemente).
Definições úteis:
  • U = \omega r, com \omega em rad/s e r o raio local.
  • \omega = \dfrac{2\pi n}{60}, com n em RPM.

Passo 4

Calculei \omega a partir de n (isso dá a velocidade angular que já é informação utilizável):
\omega = \frac{2\pi n}{60} = \frac{2\pi\cdot 180}{60} = 6\pi\\ \text{rad/s}.
Isso é aproximadamente
\omega \approx 18{,}85\\ \text{rad/s}.
Portanto a velocidade periférica em qualquer raio r é
U(r)=\omega r = 6\pi\, r \approx 18{,}85\, r,
onde r está em metros e U em m/s. (Já deu para usar isso se você souber os raios.)

Passo 5

Como se obtêm os componentes radiais e tangenciais do escoamento (parte prática que você vai usar na prova):
  • Continuidade para escoamento radial (assumindo escoamento em toda a circunferência): a vazão volumétrica Q atravessa a área anular aproximada A=2\pi r b (onde b é a altura efetiva da passagem). Assim a velocidade radial (méridional) no raio r é
V_r(r)=\frac{Q}{2\pi r b}.
  • Se você conhece o ângulo absoluto do fluxo \alpha (ângulo entre V e a direção radial, medido a partir da direção radial para a tangencial), então a componente tangencial absoluta é
V_u = V_r\tan\alpha.
(Equivalente: \alpha=\arctan\!\big(\tfrac{V_u}{V_r}\big).)
  • Se ao invés de \alpha você conhece o ângulo relativo à pá \beta (ângulo entre W e a radial), então W_u = W_r\tan\beta e como W_r=V_r tem-se W_u=V_r\tan\beta, e em seguida
V_u = W_u + U = V_r\tan\beta + U.

Passo 6

Fórmulas para os comprimentos dos lados dos triângulos (entrada e saída). Para um raio genérico r (substitua r=r_1 na entrada e r=r_2 na saída):
  • velocidade periférica:
U = \omega r = 6\pi r.
  • componente radial:
V_r = \frac{Q}{2\pi r b}.
  • componente tangencial absoluta (se \alpha conhecido):
V_u = V_r\tan\alpha.
  • componente tangencial relativa (se \beta conhecido) e relação com V_u:
W_r = V_r,\qquad W_u = V_r\tan\beta,\qquad V_u = W_u + U = V_r\tan\beta + U.
  • módulo das velocidades:
|V|=\sqrt{V_r^2+V_u^2},\qquad |W|=\sqrt{W_r^2+W_u^2}=\sqrt{V_r^2+(V_u-U)^2}.
  • trabalho por unidade de massa (fórmula de Euler — útil para checar consistência):
\Delta h = U_1 V_{u1} - U_2 V_{u2}.
Com essas equações você monta os triângulos: em cada ponto (entrada/saída) a projeção radial é V_r (igual tanto para V quanto para W), a projeção tangencial de V é V_u, a projeção tangencial de W é V_u-U. Desenhe o triângulo com catetos V_r e V_u para V, e para W os catetos são V_r e V_u-U.

Passo 7

Procedimento passo-a-passo que você aplicará na prova (resumido e numérico quando tiver dados):
  1. calcule \omega = 6\pi\\ \text{rad/s}.
  2. calcule U_1=\omega r_1 e U_2=\omega r_2.
  3. calcule V_{r1}=Q/(2\pi r_1 b_1) e V_{r2}=Q/(2\pi r_2 b_2) (ou use velocidades radiais dadas).
  4. se \alpha_1,\alpha_2 dados: V_{u1}=V_{r1}\tan\alpha_1,\\ V_{u2}=V_{r2}\tan\alpha_2.
    se \beta_1,\beta_2 dados: V_{u1}=V_{r1}\tan\beta_1+U_1,\\ V_{u2}=V_{r2}\tan\beta_2+U_2.
  5. calcule os módulos |V_1|=\sqrt{V_{r1}^2+V_{u1}^2} e |W_1|=\sqrt{V_{r1}^2+(V_{u1}-U_1)^2}, e analogamente na saída.
  6. desenhe os triângulos: para cada um, na horizontal (tangencial) marque V_u e U e na vertical (radial) marque V_r; o triângulo relativo tem base V_u-U e altura V_r.

Passo 8

Resumo final e o que você precisa me dar (ou ter na prova) para obter números: para determinar numericamente todos os elementos dos triângulos de velocidade na entrada e na saída é necessário fornecer pelo menos os seguintes dados:
\text{dados necessários: } r_1,\\ r_2,\\ Q\\ \text{(ou }V_{r1},V_{r2}\text{)},\\ b_1,\\ b_2,\\ \alpha_1\\ \text{ou}\\ \beta_1,\\ \alpha_2\\ \text{ou}\\ \beta_2.á
Com esses dados você aplica as fórmulas dos passos anteriores e obtém todos os elementos (componentes e módulos) dos triângulos.

Resposta

Não é possível determinar numericamente os triângulos só com n=180 RPM.\n
Fórmulas que dão os elementos (substitua r_1,r_2,Q,b_1,b_2,\alpha_i,\beta_i conforme dados da prova):\n
\omega = 6\pi\\ \text{rad/s}\n
U_i=\omega r_i = 6\pi r_i\n
V_{r,i}=\dfrac{Q}{2\pi r_i b_i}\n
Se \alpha_i dado: V_{u,i}=V_{r,i}\tan\alpha_i\n
Se \beta_i dado: W_{u,i}=V_{r,i}\tan\beta_i e V_{u,i}=W_{u,i}+U_i\n
Módulos: |V_i|=\sqrt{V_{r,i}^2+V_{u,i}^2}, |W_i|=\sqrt{V_{r,i}^2+(V_{u,i}-U_i)^2}\n
Dados necessários para cálculo numérico: r_1,r_2,Q (ou V_{r1},V_{r2}), b_1,b_2, e \alpha_1/ \beta_1, \alpha_2/ \beta_2.

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