Determine os elementos dos triângulos de velocidade, na entrada e na saída, de uma turbina radial com os seguintes dados:
largura na entrada \mathrm{b}_{4}=0,30 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado pede: “Determine os elementos dos triângulos de velocidade, na entrada e na saída, de uma turbina radial”, e fornece apenas a largura na entrada \mathrm{b}_{4}=0,30\\ \mathrm{m}.
Informações explicitamente dadas:
\mathrm{b}_{4}=0,30\\ \mathrm{m}.
Perguntas implícitas (o que precisamos encontrar): para a seção de entrada (índice 4) e de saída (índice 5) dos triângulos de velocidade, normalmente queremos determinar:
  • velocidade absoluta \;c (magnitude e componentes \;c_{m} e \;c_{\theta});
  • velocidade periférica (velocidade da pá) \;U;
  • velocidade relativa \;w (magnitude e componente tangencial relativa \;w_{\theta}=c_{\theta}-U);
  • ângulos do fluxo absoluto \;\alpha e relativo \;\beta;
  • (se necessário) raios \;r_4,\\ r_5, vazão mássica \;\dot{m}, densidade \;\rho, rotação n ou \omega, e queda de entalpia/energia disponível \;\Delta h.
Observação importante: só foi fornecido \mathrm{b}_4. Para calcular valores numéricos dos elementos dos triângulos precisamos de outras grandezas (vazão, densidade, raios, rotação, ângulos ou energia disponível). Sem esses dados não é possível obter números finais. A partir daqui eu explico passo a passo o que é necessário e como calcular cada elemento se os dados forem conhecidos.

Passo 2

O que são os triângulos de velocidade (aula curta e prática).
  • Triângulo de velocidade relaciona três vetores na seção da máquina:
    • \;U: velocidade periférica da pá, tangencial ao raio, dada por movimento de rotação.
    • \;c: velocidade absoluta do fluido (vetor da velocidade estacionária).
    • \;w: velocidade relativa do fluido em relação à pá (vetor w = c - U).
  • Componentes importantes (numa máquina radial com direção meridional/axial/ radial):
    • componente meridional (radial/axial), que chamamos de componente de massa: \;c_m (é a componente que atravessa a seção em sentido radial ou axial dependendo da convenção).
    • componente tangencial (circunferencial): \;c_{\theta}.
  • Angulações:
    • ângulo absoluto \;\alpha tal que \tan\alpha = \dfrac{c_m}{c_{\theta}}.
    • ângulo relativo \;\beta tal que \tan\beta = \dfrac{c_m}{c_{\theta}-U}.
  • Relações vetoriais (em módulos):
\;c = \sqrt{c_m^{2} + c_{\theta}^{2}},\qquad \;w = \sqrt{c_m^{2} + (c_{\theta}-U)^{2}}.

Passo 3

Equação da continuidade (como obtemos \;c_{m} a partir de vazão).
  • A vazão mássica é dada por:
\dot{m}=2\pi r\, b\, \rho\, c_{m},
onde:
  • \dot{m} é vazão mássica ( \mathrm{kg/s}),
  • r é o raio na seção considerada ( \mathrm{m}),
  • b é a largura da passagem (espessura) nessa seção ( \mathrm{m}) — por ex. \;b_4 para entrada,
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • c_{m} é a componente meridional da velocidade ( \mathrm{m/s}).
  • Isolando \;c_{m}:
\;c_{m} = \dfrac{\dot{m}}{2\pi r\, b\, \rho}.
Portanto, com \mathrm{b}_4 conhecido você só consegue o \;c_{m4} se souber \dot{m}, \rho e r_4.

Passo 4

Velocidade periférica U (como calcular).
  • A velocidade periférica numa seção de raio r é:
U = \omega r = 2\pi n\, r,
onde:
  • \omega é velocidade angular ( \mathrm{rad/s}),
  • n é rotação em revoluções por segundo ( \mathrm{s^{-1}}) — se n dado em rpm, converta: n_{\text{s^{-1}}}=\dfrac{\text{rpm}}{60}.
  • Para obter U_4 e U_5 precisamos dos raios r_4 e r_5 e da rotação.

Passo 5

Componente tangencial \;c_{\theta} e relação de Euler (como obter \;c_{\theta} a partir do trabalho).
  • A equação de Euler para turbinas relaciona a variação de energia específica com componentes tangenciais:
\Delta h_e = U_4 c_{\theta4} - U_5 c_{\theta5},
onde \Delta h_e é o trabalho específico extraído por unidade de massa (queda de entalpia total disponível para converter em trabalho útil). Em notação simples se considerarmos entrada 4 e saída 5:
\Delta h = U_4 c_{\theta4} - U_5 c_{\theta5}.
  • Se você conhece \Delta h (por exemplo obtida da queda de pressão/entalpia do fluido entre 4 e 5), e conhece U_4,U_5, então uma das componentes c_{\theta} pode ser obtida se a outra for conhecida, ou então mediante hipóteses comuns (por exemplo, em turbinas radiais de impulso costuma-se assumir c_{\theta5}\approx0 se o fluxo sai sem componente tangencial, mas isso depende do projeto).
  • Sem \Delta h ou hipóteses adicionais não se pode obter numericamente c_{\theta4} e c_{\theta5}.

Passo 6

Como obter magnitudes e ângulos dos vetores (fórmulas explícitas).
  • Uma vez conhecidos \;c_{m}, \;c_{\theta}, e U, obtemos:
\;c = \sqrt{c_m^{2} + c_{\theta}^{2}},
\;w = \sqrt{c_m^{2} + (c_{\theta}-U)^{2}},
\tan\alpha = \dfrac{c_m}{c_{\theta}},\qquad \alpha = \arctan\!\left(\dfrac{c_m}{c_{\theta}}\right),
\tan\beta = \dfrac{c_m}{c_{\theta}-U},\qquad \beta = \arctan\!\left(\dfrac{c_m}{c_{\theta}-U}\right).
  • Estas fórmulas permitem construir os triângulos de velocidade geometricamente (módulos e ângulos).

Passo 7

Fluxo de resolução prático (passo a passo operacional que você pode aplicar na prova se tiver os dados):
  1. a) Use \dot{m}=2\pi r_4 b_4 \rho c_{m4} para obter \;c_{m4} (ou, se for dado c_{m4}, calcule \dot{m}).
    b) Análogo para a saída: \dot{m}=2\pi r_5 b_5 \rho c_{m5}.
  2. Calcule U_4=2\pi n r_4 e U_5=2\pi n r_5.
  3. Use a equação de Euler \Delta h = U_4 c_{\theta4} - U_5 c_{\theta5}. Com uma hipótese adicional (por ex. c_{\theta5} conhecido ou nulo, ou conhecendo \Delta h) obtenha c_{\theta4} e c_{\theta5}.
  4. Calcule c_4, w_4, \alpha_4, \beta_4 pelas fórmulas do Passo 6. Faça o mesmo na seção 5.
  5. Verifique consistência (sinais das componentes tangenciais, ângulos dentro de intervalos plausíveis, energia balanceada).

Passo 8

Exemplificação simbólica (o que podemos escrever usando apenas \mathrm{b}_4 e as variáveis desconhecidas).
  • A partir do que temos, os elementos dos triângulos na entrada (índice 4) podem ser expressos simbolicamente como:
c_{m4}=\dfrac{\dot{m}}{2\pi r_4 b_4 \rho},
U_4=2\pi n r_4,
c_{\theta4}=\text{(valor a obter pela equação de Euler ou hipótese)},çãó
c_4=\sqrt{c_{m4}^2 + c_{\theta4}^2},
w_4=\sqrt{c_{m4}^2 + (c_{\theta4}-U_4)^2},
\alpha_4=\arctan\!\left(\dfrac{c_{m4}}{c_{\theta4}}\right),\qquad \beta_4=\arctan\!\left(\dfrac{c_{m4}}{c_{\theta4}-U_4}\right).
  • Na saída (índice 5), usando \;b_5,\\ r_5 análogos:
c_{m5}=\dfrac{\dot{m}}{2\pi r_5 b_5 \rho},
U_5=2\pi n r_5,
c_{\theta5}=\text{(determinado pela equação de Euler junto com }c_{\theta4}\text{)},çã
c_5=\sqrt{c_{m5}^2 + c_{\theta5}^2},
w_5=\sqrt{c_{m5}^2 + (c_{\theta5}-U_5)^2},
\alpha_5=\arctan\!\left(\dfrac{c_{m5}}{c_{\theta5}}\right),\qquad \beta_5=\arctan\!\left(\dfrac{c_{m5}}{c_{\theta5}-U_5}\right).

Passo 9

Resumo do que falta e dicas rápidas para você na prova (empatia e ânimo).
  • Falta: \dot{m} ou c_{m}, \rho, r_4 e r_5, b_5 (se for diferente), rotação n (ou \omega), e/ou \Delta h (queda de entalpia) ou ângulos/condições que permitam encontrar c_{\theta4},c_{\theta5}.
  • Dica prática: se o enunciado da prova não der tudo, normalmente ele dá a vazão \dot{m}, rotação e raios, ou dá \Delta h (energia disponível). Use os passos acima na ordem indicada. Se estiver inseguro sobre sinal de c_{\theta5}, faça um esboço do triângulo para verificar sentido do vetor relativo em relação à pá.
  • Força aí: com os dados que listei você resolve direto; se quiser eu já faço os cálculos numéricos assim que me passar \dot{m},\\ r_4,\\ r_5,\\ n,\\ \rho,\\ b_5,\\ \Delta h (ou qualquer subconjunto com hipóteses).

Resposta

Não é possível determinar numericamente os elementos dos triângulos de velocidade apenas com \mathrm{b}_{4}=0{,}30\\ \mathrm{m}. Em forma simbólica, os elementos na entrada (índice 4) são:
c_{m4}=\dfrac{\dot{m}}{2\pi r_4 b_4 \rho},\qquad U_4=2\pi n r_4,
c_{\theta4}=\text{determinado pela equação de Euler }(\Delta h = U_4 c_{\theta4}-U_5 c_{\theta5})\text{ ou por hipótese},çãó
c_4=\sqrt{c_{m4}^{2}+c_{\theta4}^{2}},\qquad w_4=\sqrt{c_{m4}^{2}+(c_{\theta4}-U_4)^{2}},
\alpha_4=\arctan\!\left(\dfrac{c_{m4}}{c_{\theta4}}\right),\qquad \beta_4=\arctan\!\left(\dfrac{c_{m4}}{c_{\theta4}-U_4}\right).
E na saída (índice 5), analogamente:
c_{m5}=\dfrac{\dot{m}}{2\pi r_5 b_5 \rho},\qquad U_5=2\pi n r_5,
c_{\theta5}=\text{determinado pela equação de Euler juntamente com }c_{\theta4},çã
c_5=\sqrt{c_{m5}^{2}+c_{\theta5}^{2}},\qquad w_5=\sqrt{c_{m5}^{2}+(c_{\theta5}-U_5)^{2}},
\alpha_5=\arctan\!\left(\dfrac{c_{m5}}{c_{\theta5}}\right),\qquad \beta_5=\arctan\!\left(\dfrac{c_{m5}}{c_{\theta5}-U_5}\right).

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