- Seja
de classe
e seja
ponto interior de
. Suponha que
seja ponto crítico de
. Prove:
a)
, e
é uma condição necessária para o ponto crítico
ser ponto de mínimo local de
.
b)
e
é uma condição necessária para o ponto crítico
ser ponto de máximo local de
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas.
Informações dadas:
- A função
é de classe (ou seja, tem derivadas parciais contínuas de primeira e segunda ordem). - O ponto
é um ponto interior do domínio de . - O ponto
é um ponto crítico de (ou seja, as derivadas parciais de primeira ordem ali são nulas).
Perguntas a provar:
a) Mostrar que
a) Mostrar que
são condições necessárias para que
seja ponto de mínimo local de
.
b) Mostrar que
são condições necessárias para que
seja ponto de máximo local de
.
Passo 2
Lembrete dos conceitos usados (sem assumir que já sabe):
- Ponto crítico:
é crítico se
- Ponto de mínimo local: existe uma bola (um entorno) centrada em
onde para todos os pontos do entorno. - Ponto de máximo local: análogo, com desigualdade invertida.
Estratégia geral (só para entendimento; a prova virá nos passos seguintes): se
tem mínimo local em
, então ao movimentarmos apenas numa das direções coordenadas (por exemplo, variar
mantendo
fixos) obtemos uma função de uma variável que também tem mínimo local em
. Para funções de uma variável, conhecemos uma condição necessária: se
tem mínimo em
e é duas vezes diferenciável então
e
. Vamos provar essa condição univariada e aplicá-la às restrições de
.
Passo 3
Provar o fato unidimensional necessário (lema):
Lema. Seja
de classe
. Se
tem mínimo local em
então
e
. (O mesmo com sinais invertidos para máximo.)
Prova do lema passo a passo:
- Primeiro, o fato de
ter mínimo local em implica que . Explicação: pela definição de derivada,
Se
tem mínimo em
, então para
pequeno e positivo temos
, logo
para
pequeno. Para
pequeno e negativo temos
também, mas agora ao dividir por
obtemos
. Portanto os limites laterais direito e esquerdo valem, respectivamente, um número
e
. Como a derivada existe (classe
garante existência), esses dois limites coincidem e só podem ser
. Logo
.
- Agora mostrar
. Como é podemos escrever a expansão de Taylor de segunda ordem com resto pequeno (ou fazer o cálculo direto). Usando Taylor,
Como já vimos
, isto fica
Dividindo por
(positivo) e passando ao limite
dá
Mas, como
para
suficientemente pequeno (mínimo local), o quociente
é
para
pequeno; portanto seu limite,
, também é
. Assim
. Isso termina a prova do lema.
Observação: para máximo local a mesma argumentação mostra
e
.
Passo 4
Aplicar o lema às restrições de
nas direções coordenadas.
Defina as funções de uma variável (restrições de
ao longo de cada eixo coordenado, mantendo as outras coordenadas fixas):
Observações importantes:
- Como
é , cada é (composição de com uma função linear em ). - Se
é ponto de mínimo local de , então por definição para pequeno temos
ou seja, cada
tem mínimo local em
. (Análogo para máximo com desigualdades invertidas.)
Passo 5
Relacionar derivadas de
com derivadas parciais de
usando a regra da cadeia.
Calcule as derivadas de
(os outros são análogos):
Em particular,
Como
é ponto crítico, temos
. Para a segunda derivada,
logo
Analogamente,
Passo 6
Concluir as desigualdades necessárias para mínimo e máximo local.
a) Caso mínimo local:
- Cada função
tem mínimo local em . Pelo lema do Passo 3, para cada uma vale segunda derivada no zero não negativa. Assim
Isso prova que essas desigualdades são condições necessárias para mínimo local.
b) Caso máximo local:
- Razão idêntica: se
tem máximo local em então cada tem máximo local em . Pelo lema (caso máximo) temos e . Usando as igualdades do Passo 5 obtemos
Logo essas desigualdades são condições necessárias para máximo local.
Comentário final (útil para a prova): essas condições são necessárias porque olham apenas as variações nas direções das coordenadas. Elas não são, em geral, suficientes para concluir que o ponto é mínimo (para sufficiência precisamos de condições sobre a forma quadrática dada pela Hessiana ser definida positiva, por exemplo). Mas para esta questão só era pedido provar a necessidade, o que fizemos reduzindo a um caso unidimensional e aplicando o lema.
Resposta
(a)
(b)