1. Seja f(x, y, z) de classe C^{2} e seja \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) ponto interior de D_{f}. Suponha que \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) seja ponto crítico de f. Prove:
    a) \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \geqslant 0, \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \geqslant 0, e \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \geqslant 0 é uma condição necessária para o ponto crítico \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) ser ponto de mínimo local de f.
    b) \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \leqslant 0, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \leqslant 0 e \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \leqslant 0 é uma condição necessária para o ponto crítico \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) ser ponto de máximo local de f.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas.
Informações dadas:
  • A função f(x,y,z) é de classe C^{2} (ou seja, tem derivadas parciais contínuas de primeira e segunda ordem).
  • O ponto \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) é um ponto interior do domínio de f.
  • O ponto \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) é um ponto crítico de f (ou seja, as derivadas parciais de primeira ordem ali são nulas).
Perguntas a provar:
a) Mostrar que
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\!\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\geqslant 0,\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\!\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\geqslant 0,\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\!\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\geqslant 0
são condições necessárias para que \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) seja ponto de mínimo local de f.
b) Mostrar que
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\!\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\leqslant 0,\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\!\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\leqslant 0,\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\!\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\leqslant 0
são condições necessárias para que \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) seja ponto de máximo local de f.

Passo 2

Lembrete dos conceitos usados (sem assumir que já sabe):
  • Ponto crítico: \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) é crítico se
\frac{\partial f}{\partial x}\!(x_{0},y_{0},z_{0})=0,\quad \frac{\partial f}{\partial y}\!(x_{0},y_{0},z_{0})=0,\quad \frac{\partial f}{\partial z}\!(x_{0},y_{0},z_{0})=0.
  • Ponto de mínimo local: existe uma bola (um entorno) centrada em \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) onde f(x,y,z)\ge f(x_{0},y_{0},z_{0}) para todos os pontos do entorno.
  • Ponto de máximo local: análogo, com desigualdade invertida.
Estratégia geral (só para entendimento; a prova virá nos passos seguintes): se f tem mínimo local em \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right), então ao movimentarmos apenas numa das direções coordenadas (por exemplo, variar x mantendo y,z fixos) obtemos uma função de uma variável que também tem mínimo local em t=0. Para funções de uma variável, conhecemos uma condição necessária: se g tem mínimo em 0 e é duas vezes diferenciável então g'(0)=0 e g''(0)\ge0. Vamos provar essa condição univariada e aplicá-la às restrições de f.

Passo 3

Provar o fato unidimensional necessário (lema):
Lema. Seja g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de classe C^{2}. Se g tem mínimo local em t=0 então g'(0)=0 e g''(0)\geqslant 0. (O mesmo com sinais invertidos para máximo.)
Prova do lema passo a passo:
  1. Primeiro, o fato de g ter mínimo local em 0 implica que g'(0)=0. Explicação: pela definição de derivada,
g'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{g(h)-g(0)}{h}.
Se g tem mínimo em 0, então para h pequeno e positivo temos g(h)-g(0)\ge 0, logo \frac{g(h)-g(0)}{h}\ge 0 para h>0 pequeno. Para h pequeno e negativo temos g(h)-g(0)\ge 0 também, mas agora ao dividir por h<0 obtemos \frac{g(h)-g(0)}{h}\le 0. Portanto os limites laterais direito e esquerdo valem, respectivamente, um número \ge 0 e \le 0. Como a derivada existe (classe C^2 garante existência), esses dois limites coincidem e só podem ser 0. Logo g'(0)=0.
  1. Agora mostrar g''(0)\ge 0. Como g é C^{2} podemos escrever a expansão de Taylor de segunda ordem com resto pequeno (ou fazer o cálculo direto). Usando Taylor,
g(h)=g(0)+g'(0)h+\tfrac{1}{2}g''(0)h^{2}+o(h^{2})\quad\text{quando }h\to 0.
Como já vimos g'(0)=0, isto fica
g(h)-g(0)=\tfrac{1}{2}g''(0)h^{2}+o(h^{2}).
Dividindo por h^{2} (positivo) e passando ao limite h\to 0
\lim_{h\to 0}\frac{g(h)-g(0)}{h^{2}}=\tfrac{1}{2}g''(0).
Mas, como g(h)-g(0)\ge 0 para h suficientemente pequeno (mínimo local), o quociente \frac{g(h)-g(0)}{h^{2}} é \ge 0 para h pequeno; portanto seu limite, \tfrac{1}{2}g''(0), também é \ge 0. Assim g''(0)\ge 0. Isso termina a prova do lema.
Observação: para máximo local a mesma argumentação mostra g'(0)=0 e g''(0)\le 0.

Passo 4

Aplicar o lema às restrições de f nas direções coordenadas.
Defina as funções de uma variável (restrições de f ao longo de cada eixo coordenado, mantendo as outras coordenadas fixas):
g_{x}(t)=f(x_{0}+t,\;y_{0},\;z_{0}),\qquad g_{y}(t)=f(x_{0},\;y_{0}+t,\;z_{0}),\qquad g_{z}(t)=f(x_{0},\;y_{0},\;z_{0}+t).
Observações importantes:
  • Como f é C^{2}, cada g_x,g_y,g_z é C^{2} (composição de C^{2} com uma função linear em t).
  • Se \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) é ponto de mínimo local de f, então por definição para t pequeno temos
g_x(t)\ge g_x(0),\quad g_y(t)\ge g_y(0),\quad g_z(t)\ge g_z(0),
ou seja, cada g_{*} tem mínimo local em t=0. (Análogo para máximo com desigualdades invertidas.)

Passo 5

Relacionar derivadas de g_{*} com derivadas parciais de f usando a regra da cadeia.
Calcule as derivadas de g_x (os outros são análogos):
g_x'(t)=\frac{d}{dt}f(x_{0}+t,y_{0},z_{0})=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+t,y_{0},z_{0}).
Em particular,
g_x'(0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0},z_{0}).
Como \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) é ponto crítico, temos g_x'(0)=0. Para a segunda derivada,
g_x''(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+t,y_{0},z_{0})\right) =\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0}+t,y_{0},z_{0}),
logo
g_x''(0)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0}).
Analogamente,
g_y'(0)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0},z_{0})=0,\quad g_y''(0)=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0}),
g_z'(0)=\frac{\partial f}{\partial z}(x_{0},y_{0},z_{0})=0,\quad g_z''(0)=\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0}).

Passo 6

Concluir as desigualdades necessárias para mínimo e máximo local.
a) Caso mínimo local:
  • Cada função g_x,g_y,g_z tem mínimo local em t=0. Pelo lema do Passo 3, para cada uma vale segunda derivada no zero não negativa. Assim
g_x''(0)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})\geqslant 0,
g_y''(0)=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})\geqslant 0,
g_z''(0)=\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})\geqslant 0.
Isso prova que essas desigualdades são condições necessárias para mínimo local.
b) Caso máximo local:
  • Razão idêntica: se f tem máximo local em \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) então cada g_{*} tem máximo local em 0. Pelo lema (caso máximo) temos g_*'(0)=0 e g_*''(0)\le 0. Usando as igualdades do Passo 5 obtemos
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})\leqslant 0,\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})\leqslant 0,\quad \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})\leqslant 0.
Logo essas desigualdades são condições necessárias para máximo local.
Comentário final (útil para a prova): essas condições são necessárias porque olham apenas as variações nas direções das coordenadas. Elas não são, em geral, suficientes para concluir que o ponto é mínimo (para sufficiência precisamos de condições sobre a forma quadrática dada pela Hessiana ser definida positiva, por exemplo). Mas para esta questão só era pedido provar a necessidade, o que fizemos reduzindo a um caso unidimensional e aplicando o lema.

Resposta

(a) \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\!\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\geqslant 0,\quad \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\!\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\geqslant 0,\quad \dfrac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\!\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\geqslant 0
(b) \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\!\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\leqslant 0,\quad \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\!\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\leqslant 0,\quad \dfrac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\!\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\leqslant 0

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