Determine a elipse cujo centro é C=(-6,4), um dos vértices do eixo maior é D=(-6,1) e a distância focal é 2 .
a. 3 x^{2}+4 y^{2}+36 x-24 y+132=0
b. 4 x^{2}+3 y^{2}+48 x-24 y+180=0
c. 3 x^{2}+4 y^{2}+30 x-24 y+99=0
d. 9 x^{2}+8 y^{2}+108 x-64 y+380=0
e. 4 x^{2}+3 y^{2}+48 x-18 y+159=0

Passo 1

O enunciado pede a elipse de centro C = (-6,4), um vértice do eixo maior em D = (-6,1) e com distância focal igual a 2. O conteúdo é equação de elipse com eixo maior vertical, e vamos usar as relações
a = \text{semi‐eixo maior},\quad c = \text{semi‐distância focal},\quad b^2 = a^2 - c^2.â

Passo 2

Como C e D têm a mesma abscissa -6, o eixo maior é vertical. Então
a = |y_D - y_C| = |1 - 4| = 3.

Passo 3

A distância entre os focos é 2c = 2, portanto
c = 1.

Passo 4

Usando a relação entre os semi‐eixos,
b^2 = a^2 - c^2 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8.

Passo 5

A equação canônica é
\frac{(x+6)^2}{8} + \frac{(y-4)^2}{9} = 1.
Multiplicando por 72 e desenvolvendo:
9(x+6)^2 + 8(y-4)^2 = 72
9x^2 +108x +324 +8y^2 -64y +128 = 72
9x^2 +8y^2 +108x -64y +380 = 0.

Passo 6

Comparando com as alternativas, corresponde à letra (d).

Resposta

(d)

Exercícios relacionados