Determine a elipse cujo centro é C=(-6,4), um dos vértices do eixo maior é D=(-6,1) e a distância focal é 2 .
a. 3 x^{2}+4 y^{2}+36 x-24 y+132=0
b. 4 x^{2}+3 y^{2}+48 x-24 y+180=0
c. 3 x^{2}+4 y^{2}+30 x-24 y+99=0
d. 9 x^{2}+8 y^{2}+108 x-64 y+380=0
e. 4 x^{2}+3 y^{2}+48 x-18 y+159=0
f. 9 x^{2}+8 y^{2}+108 x-48 y+324=0

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse com centro em C=(-6,4), um vértice do eixo maior em D=(-6,1) e distância focal igual a 2. O conteúdo é elipse no plano cartesiano, cuja forma canônica é
\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}} + \frac{(y-k)^{2}}{a^{2}} = 1
quando o eixo maior é vertical, com centro em (h,k), semi-eixo maior a e semi-eixo menor b.

Passo 2

Como D está verticalmente abaixo de C (mesmo x), o eixo maior é vertical. A distância do centro ao vértice é
a = |4 - 1| = 3,
logo a^{2} = 9.

Passo 3

A “distância focal” dada igual a 2 é 2c, isto é, a separação total entre os focos. Logo
2c = 2 \implies c = 1,
e
c^{2} = 1.

Passo 4

Usando a relação fundamental da elipse c^{2} = a^{2} - b^{2}, obtemos
b^{2} = a^{2} - c^{2} = 9 - 1 = 8.

Passo 5

A forma canônica fica
\frac{(x+6)^{2}}{8} + \frac{(y-4)^{2}}{9} = 1.
Multiplicando por 72 (o m.m.c.\ de 8 e 9) obtemos
9(x+6)^{2} + 8(y-4)^{2} = 72.
Expandindo:
9x^{2} + 108x + 324 \;+\;8y^{2} - 64y + 128 \;=\;72
\implies 9x^{2} + 8y^{2} +108x -64y + (324+128-72) = 0
\implies 9x^{2} + 8y^{2} +108x -64y +380 = 0.

Resposta

(d)

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