Seja a elipse de equação 3 x^{2}+4 y^{2}+36 x+24 y+132=0. Colocando esta equação na forma reduzida encontramos a, b e C centro da elipse. Determine a circunferência de centro \boldsymbol{C} e raio \boldsymbol{r}=\boldsymbol{b}.
Escolha uma opção:
a. (x-6)^{2}+(y-3)^{2}=4
b. (x-6)^{2}+(y-3)^{2}=3
c. (x+6)^{2}+(y+3)^{2}=4
d. (x+6)^{2}+(y+3)^{2}=3
O ponto \left(2, \frac{4 \sqrt{5}}{3}\right) não pertence a elipse \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1
Escolha uma opção:
  • Verdadeiro
  • Falso

Passo 1

O enunciado dá uma elipse de equação
3x^{2} + 4y^{2} + 36x + 24y + 132 = 0
e pede, após reduzir à forma padrão, o centro C e os semi-eixos a, b. Em seguida, quer a circunferência de centro C e raio r=b. Depois, há uma afirmação sobre o ponto \bigl(2,\tfrac{4\sqrt{5}}{3}\bigr) e a elipse
\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1,
devendo decidir se é verdadeiro ou falso que esse ponto não pertence à elipse.

Passo 2

Agrupamos termos em x e y e completamos quadrados:
3(x^{2} + 12x) \;+\; 4(y^{2} + 6y) \;+\; 132 = 0.
Como
x^{2} + 12x = (x+6)^{2} - 36, \quad y^{2} + 6y = (y+3)^{2} - 9,
substituímos para obter
3\bigl((x+6)^{2} -36\bigr) + 4\bigl((y+3)^{2} -9\bigr) +132 = 0
3(x+6)^{2} -108 + 4(y+3)^{2} -36 +132 = 0
3(x+6)^{2} + 4(y+3)^{2} = 12.

Passo 3

Dividindo por 12, ficamos com a forma reduzida
\frac{(x+6)^{2}}{4} \;+\; \frac{(y+3)^{2}}{3} \;=\; 1.
Dessa forma, o centro é
C = (-6,\,-3),
o semi-eixo maior tem a^{2}=4 e o semi-eixo menor tem b^{2}=3. Logo b=\sqrt{3}.

Passo 4

A circunferência de centro C=(-6,-3) e raio r=b=\sqrt{3} é
(x+6)^{2} + (y+3)^{2} = \bigl(\sqrt{3}\bigr)^{2} = 3.
Isso corresponde à opção (d).

Passo 5

Agora verificamos se o ponto \bigl(2,\tfrac{4\sqrt{5}}{3}\bigr) satisfaz
\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1.
Calculamos
\frac{2^{2}}{9} = \frac{4}{9}, \quad y^{2} = \Bigl(\tfrac{4\sqrt{5}}{3}\Bigr)^{2} = \frac{16\cdot5}{9} = \frac{80}{9},
\frac{y^{2}}{16} = \frac{80/9}{16} = \frac{80}{144} = \frac{5}{9}.
Somando,
\frac{4}{9} + \frac{5}{9} = 1,
portanto o ponto pertence à elipse. A afirmação de que não pertence, então, é falsa.

Resposta

(d)
Falso

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