Seja a elipse de equação 3 x^{2}+4 y^{2}+36 x+24 y+132=0. Colocando esta equação na forma reduzida encontramos a, b e C centro da elipse. Determine a circunferência de centro \boldsymbol{C} e raio \boldsymbol{r}=\boldsymbol{b}.

Passo 1

O enunciado nos dá a elipse de equação
3x^{2}+4y^{2}+36x+24y+132=0
e pede que, ao reduzi‐la à forma canónica, identifiquemos o centro C, os semi-eixos a e b, e depois escrevamos a equação da circunferência de centro C e raio r=b. Para isso vamos usar o método de completar quadrados para colocar a elipse em forma centralizada.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y:
3\bigl(x^2+12x\bigr)+4\bigl(y^2+6y\bigr)+132=0.
Em seguida completamos o quadrado em cada parêntesis:
Completando o quadrado em x:
x^2+12x=(x+6)^2-36.
Completando o quadrado em y:
y^2+6y=(y+3)^2-9.

Passo 3

Substituindo na equação original:
3\bigl((x+6)^2-36\bigr)+4\bigl((y+3)^2-9\bigr)+132=0
3(x+6)^2-108+4(y+3)^2-36+132=0
3(x+6)^2+4(y+3)^2-12=0
3(x+6)^2+4(y+3)^2=12.
Dividindo por 12 para obter a forma reduzida:
\frac{(x+6)^2}{4}+\frac{(y+3)^2}{3}=1.
Dessa forma, o centro da elipse é
C=(-6,-3),
temos a^2=4 e b^2=3, logo
a=2,\quad b=\sqrt{3}.

Passo 4

Como queremos a circunferência de centro C e raio r=b, basta usar a fórmula
(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2.
Aqui (x_C,y_C)=(-6,-3) e r=b=\sqrt{3}, logo r^2=3.

Resposta

(x+6)^2+(y+3)^2=3.

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