Determine a elipse cujo centro é C=(-6,3), um dos vértices do eixo maior é D=(-4,3) e a distância focal é 2 .
a. 3 x^{2}+4 y^{2}+30 x-24 y+99=0
b. 4 x^{2}+3 y^{2}+48 x-24 y+180=0
c. 9 x^{2}+8 y^{2}+108 x-48 y+324=0
d. 4 x^{2}+3 y^{2}+48 x-18 y+159=0
e. 9 x^{2}+8 y^{2}+108 x-64 y+380=0
f. 3 x^{2}+4 y^{2}+36 x-24 y+132=0

Passo 1

O enunciado pede a equação geral da elipse com centro em C=(-6,3), vértice de eixo maior em D=(-4,3) e distância focal igual a 2. Vamos usar a definição padrão da elipse \tfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\tfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1, identificando a, b e c (com 2c sendo a distância entre focos).

Passo 2

Como C=(-6,3) e D=(-4,3) têm mesma ordenada, o eixo maior é horizontal. A distância do centro ao vértice dá
a = |x_D - x_C| = |-4 - (-6)| = 2.

Passo 3

A “distância focal” é 2c=2, logo
c = 1.

Passo 4

Na elipse vale c^{2}=a^{2}-b^{2}. Assim,
b^{2}=a^{2}-c^{2}=2^{2}-1^{2}=4-1=3.

Passo 5

A equação canônica fica
\frac{(x+6)^{2}}{4}+\frac{(y-3)^{2}}{3}=1.

Passo 6

Multiplicando por 12 e expandindo:
3(x+6)^{2}+4(y-3)^{2}=12
3(x^{2}+12x+36)+4(y^{2}-6y+9)=12
3x^{2}+36x+108+4y^{2}-24y+36-12=0
3x^{2}+4y^{2}+36x-24y+132=0.

Resposta

f. 3 x^{2}+4 y^{2}+36 x-24 y+132=0

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